С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

В не перевищувала б зменшеного на півгодини часу, необхідного катеру для проходження 5 км зі швидкістю V в стоячій воді. Який із пунктів знаходиться вище за течією: А чи В?

Розв'язання:

Припустимо, що пункт В розміщений вище пункту А за течією

річки. Оскільки катер прибув із А в В, рухаючись з швидкістю ь-км-

год

відносно води, то повинна виконуватися нерівність и)5. Але тоді для

_ км проходження 5 км з швидкістю  V-       в стоячій воді катеру

год

знадобилося б менше однієї години. Тому, сума абсолютних величин відхилень від розкладу прибуття в пункти В, С і В не перевищувала б

2 години.    абсолютна величина відхилення розкладу

15    . б 1

-1, також не перевищувала б

прибуття в пункт В, рівна —

V-5 2

години, тобто, була б справедлива нерівність:

15

-1

< І 2

15

V-5

V-5

Оскільки справедлива нерівність а < а, то із нерівності -1

<1 випливає нерівність —15— 1 <1, звідки и> 15. Але 2 V-5 2

км

якщо швидкість катера в стоячій воді не менша ніж 15-, то він

год

проходить 5 км в стоячій воді не більше ніж за 20 хвилин, що суперечить умові. Тому, наше міркування про те, що пункт В розміщений вище пункту А за течією річки, суперечить умові задачі. Отже, пункт В розміщений нижче пункту А за течією річки.

Відповідь: пункт В розміщений нижче пункту А за течією річки.

Задача 50.

Два спортсмени стартували один за другим з інтервалом в дві хвилини. Другий спортсмен наздогнав першого на відстані 1 км від точки старту, а пробігши від точки старту 5 км, він повернувся назад і зустрівся з першим спортсменом. Ця зустріч відбулася через 20 хвилин після старту першого спортсмена. Знайдіть швидкість другого спортсмена.

Позначимо через х 1ККМ- швидкість першого спортсмена, а через

год

км

у-швидкість другого спортсмена. Перший спортсмен пробіг 1 км

год

за —години, а другий - за — години. За умовою задачі другий х у

спортсмен затратив на 1 км на 2 хвилини менше часу, ніж перший,

отже,

1  1 1

х   у ЗО

До моменту зустрічі перший спортсмен, знаходячись в дорозі 20 хвилин, пробіг З х км. Отже, другий спортсмен до цього моменту

(   1 ^

пробіг 10 — х км. Оскільки він біг 18 хвилин, то V      3 )

10 — х =— у. З 60

Звідки маємо рівняння:

(     18 ^ х = 10 —- у ■ 3.

Яке має корені у1 = 20 і у2 = -50. Оскільки швидкість спортсмена додатна, то у = 20.

Відповідь: швидкість другого спортсмена рівна 20 ^

год Задача 51.

Із пункту А в пункт В виїхав велосипедист, а через чверть години вслід за ним виїхав автомобіль. На половині шляху від А до В автомобіль наздогнав велосипедиста. Коли автомобіль прибув в пункт В, велосипедисту залишалося проїхати ще третину шляху. За який час велосипедист проїхав шлях від А до В, якщо відомо, що швидкості велосипедиста і автомобіля постійні на всьому шляху від пункту А до пункту В?

Розв'язання:

Позначимо через х і у час в хвилинах, який знадобився відповідно велосипедисту і автомобілю для того, щоб проїхати шляхвід пункту А до пункту В. На половину шляху від А до В

велосипедист затратив 2 хвилин, а автомобіль У хвилин. За умовою

на половині шляху від А до В вони знаходились одночасно, хоча автомобіль виїхав на 15 хвилин пізніше. Отже, справедлива рівність

У    іс х

2 2

До моменту прибуття автомобіля в пункт В велосипедист знаходився в дорозі вже +15) хвилин і проїхав за цей час 2

—™«——Iх—°~ 3

іс 2

у +15 = х.

3

ґл ■ У    іс     X  ■ іс 2

Отримали систему двох рівнянь +15 = і у +15 = х з двома

2 2 3

У X

невідомими х і у. Множачи рівняння +15 = на 2 і віднімаючи від

22

22

нього рівняння у +15 = з х, отримуємо рівняння 15 = х - з х, звідки х = 45.

Відповідь: велосипедист проїхав шлях від А до В за 45 хвилин.

Задача 52.

Автобус проходить шлях АЕ, який складається із ділянок АВ, ВС, СД ВЕ довжиною 10 км, 5 км, 5 км, 6 км відповідно. При цьому, відповідно розкладу, виїжджаючи із пункту   А о 9 годині, він

13

проходить пункт В о 9— години, пункт С - о 9— години, пункт В - о

5 8

92 години. З якою постійною швидкістю и повинен рухатися

автобус, щоб сума абсолютних величин відхилень від розкладу проходження пунктів В, С, В і часу руху автобуса від А до Е при швидкості и, не перевищувала 51,7 хвилини?

Якщо швидкість автобуса буде и^м-

год

то на шлях із А в Е він

затратить

26

V

годин, а пункти В, С і В він буде проходити відповідно

о

(    10 ^

9 + —

V     V)

годин,

(    15 ^

V     V)

годин і

9+

20

V )

годин. Тобто, сума

+

абсолютних величин відхилень від розкладу проходження пунктів В, С, В і часу руху автобуса від А до Е рівна

15   3    20   2 26

---+---+ .

V   8    V   3 V В задачі потрібно з'ясувати, при якому значенні V справедлива нерівність:

20 2

10 - 1 V 5

10 -1 V 5

+

15 - 3 V 8

+

V 3

26 517

V 600

Перший спосіб розв'язання нерівності.

^   .                    10   1   50-V Оскільки ---=-,

V   5 5v

20 - 2=А

V   3 3v

15 3 3

(40 -V),

V   8 8v

(30 -V), то для звільнення від знаків абсолютних величин

10

1

 

15

3

 

20

2

26

517

--

"5

+

~8

+

--

"3

+

 

V

 

 

V

 

 

V

 

V

600

в нерівності

випадки:

1) 0<v<30,

2) 30 £v( 40,

3) 40 £^50,

4) 50 £v.

1) Якщо 0(^30, то нерівність

розглянемо чотири

10

1

+

15

3

+

20

2

V

5

 

V

8

 

V

3

26 517

+ £-

V 600

рівносильна нерівності:

10 1 15 3 20-2 26 £ 517 8   V   3    V £ 600

звідки v>

+

V   5 V

42600 42600

Оскільки -> 30, то немає значень V з

1262 1262 проміжку 0 < V < 30, які задовольняли б нерівність.

2)Якщо 30 £ v( 40, то нерівність

10

1

+

15

3

+

20

2

V

5

 

V

8

 

V

3

рівносильна нерівності:

10 1 15

звідки V >

V

18600

+ 5 V

26 517

+ £-

V 600

3 - 20 2 26 £ 517 8   V   3   V £ 600

18600

Оскільки -> 40,

462 462 проміжку 30 £ и{ 40, які задовольняли б нерівність.

3)Якщо 40 £ и(50, то нерівність

то немає значень V із

10

1

+

15

3

+

20

2

V

5

 

V

8

 

V

3

26 £ 517

V £ 600

рівносильна нерівності:

10 1 15

_____3 _ 20   2   26 £ 517

V   5   V   8   V   3    и~ 600, звідки   V > 50.    Тобто,   немає   значень V 40 £ и(50,40 £ и(50, які задовольняли б нерівність. 4)Якщо V > 50, то нерівність

26 £ 517 V £ 600

із проміжку

10

1

+

15

3

+

20

2

V

5

 

V

8

 

V

3

рівносильна нерівності:

10 1

--+ __

V 5

15 3 20 2 26 517

+---+ - + £-

V   8   V   3   V 600

звідки V £ 50. Отже, є єдине значення V = 50, яке задовольняє нерівність:

10

1

+

15

3

+

20

2

V

5

 

V

8

 

V

3

26 £ 517

V " 600

Другий спосіб розв'язання нерівності.

Оскільки для довільного дійсного числа а нерівність а £ а, то якщо V задовольняє нерівність справедлива

10

1

 

15

3

 

20

2

26

517

--

5

+

+

--

+

£

V

 

 

V

8

 

V

3

V

600

то V задовольняє й нерівність:

10 _ 1 3

V   5 8

15 2 20 26 517

+---+ £-

V   3   V    V 60звідки и> 50. Оскільки _ а £ а, то V задовольняє також і нерівність:

10   1   3   15   2   20   26 517

--+ - +---+---+ £-,

V   5   8   V   3   V    V 600 звідки V £ 50. Із нерівностей: V > 50 і V £ 50 випливає, що v = 50.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі