С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 

Відповідь /автобус має рухатися з постійною швидкістю 50 ^

год Задача 53.

Із пункту А в пункт В виїхав велосипедист. В той момент, коли

він проїхав 4 шляху між А і В, із В в А виїхав мотоцикліст, який

прибув в А, не затримуючись, повернув назад і одночасно з велосипедистом прибув в В. Час руху мотоцикліста до першої зустрічі з велосипедистом рівний часу руху мотоцикліста із А в В. Вважаючи швидкості мотоцикліста при русі із А в В і із В в А різними, знайдіть, в скільки разів швидкість мотоцикліста при русі із А в В більша швидкості велосипедиста.

Розв'язання:

Позначимо через £ км відстань між пунктами А і В, через икм

год

швидкість мотоцикліста на шляху із В в А, через V- швидкість

год

велосипедиста, через х шукане відношення швидкості мотоцикліста на шляху із А в В до швидкості велосипедиста. Тоді швидкість

км

мотоцикліста на шляху із А в В рівна XV-.

год

На рух із пункту А в пункт В мотоцикліст витратив — годин. За

умовою задачі такий же час пройшов між моментом виїзду мотоцикліста   із   пункту   В   і   моментом   першої   зустрічі з

велосипедистом. За цей час велосипедист проїхав V км, а

£

мотоцикліст —и км. Оскільки в момент виїзду мотоцикліста із xv

3

пункту В відстань між ним і велосипедистом рівна — £ км, то

£     £ з

справедлива  рівність:   —и+--и = — £,   чи,   оскільки   V) 0, £ > 0,

хи     XV 4

рівність:

и з

+ = . х   их 4

( £   £ Л

Мотоцикліст знаходився в дорозі —і--годин. За цей час

V и   хи )

З

велосипедист проїхав -- £ км. Тому

+

и хи) 1 З

V-  £ чи 4

V

и   х 4 Із цього рівняння отримуємо:

и 4х

V   Зх - 4

              и                  1   и З Підставляючи - замість — в рівняння — л--= —, маємо

Зх - 4 V х   их 4

рівняння:

1      4 З

- +-- .

х   Зх - 4 4

4

Це рівняння має корені х1 - 4 і х2 - 9. Із умови задачі зрозуміло,

що швидкість мотоцикліст на шляху із А в В більша швидкості велосипедиста, тобто, х)1. Значить, х - 4.

Відповідь: швидкість мотоцикліста при русі із А в В в 4 рази більша швидкості велосипедиста.

Задача 54.

Пішохід, велосипедист і мотоцикліст рухаються по шосе в одну сторону з постійними швидкостями. В той момент, коли пішохід і велосипедист знаходились в одній точці, мотоцикліст був на відстані 6 км позаду них. В той момент, коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста, пішохід відставав від них на З км. На скільки кілометрів велосипедист обігнав пішохода в той момент, коли пішохода наздогнав мотоцикліст?

Перше розв'язання.

„ км . . км Позначимо через Ум-       швидкість мотоцикліста, через и-

м год в год

км

швидкість велосипедиста, через Уп--швидкість пішохода. Нехай

год

з моменту зустрічі пішохода і велосипедиста до зустрічі мотоцикліста і пішохода пройшло г1 години, а з моменту зустрічі пішохода і велосипедиста до зустрічі мотоцикліста і велосипедиста пройшло ї2 години. За час г1 мотоцикліст проїхав Умї1км, а пішохід пройшов

Упї1км. Із умови задачі маємо рівняння:

у г -уї, = 6.

м  1 п 1

З моменту зустрічі мотоцикліста і пішохода до зустрічі мотоцикліста і велосипедиста пройшло (ї2 - г1) години. За цей час мотоцикліст проїхав Ум (ї2 гі )км, а пішохід пройшов Уп (ї2 гі )км, і оскільки як пішохід відстав на 3 км, то маємо ще одне рівняння:

у (ї2 -1 )-у (ї2 -1 ) = 3.

м \ 2 1 / п V 2 1/

Із умови, що велосипедист обігнав пішохода на 3 км, отримаємо рівняння:

уї2 - уї2 = 3.

в  2 п 2

Тому отримали систему рівнянь:

у г, - у г = 6,

м 1 п 1

уї2 - у г2 = 3.

^    в   2 п 2

Потрібно знайти, на скільки кілометрів велосипедист обігнав пішохода в той момент, коли пішохода наздогнав мотоцикліст. Оскільки як це відбулося через ї1 годин, то за цей час велосипедист проїхав Увї1км, а пішохід пройшов Упї1км.

Тобто, шукана відстань х рівна  (увг1 - уї1 )км.  Із першого

рівняння  системи:   м -Уп )ї1 = 6,   із  другого  рівняння системи:

г 3 (ум - Уп )(ї2 - г1) = 3, звідки 1= 2, тобто, ї2 =  г1. Із останнього

г2 г1 2

3

рівняння системи: ув —уп = , томуз

х = ьіІ іІ = =   і = 2(км).

в 1 п 1        V   в п / 1 , 1 V /

Друге розв'язання.

^                           ^ .                   . км

Позначимо через им-       швидкість мотоцикліста, через ив-

м год 6 год

км

швидкість велосипедиста, через ьп-       швидкість пішохода. Час, за

год

з

який велосипедист обігнав пішохода на Зкм, рівний-. Із умови

в п

9

задачі   випливає,   що   цей   же   час   рівний -, звідки

мп

З         9          и     1 Л/г -=-, чи —--      ^-. Мотоцикліст наздогнав пішохода за

в п п п

час —6. Тобто, за цей час велосипедист обігнав пішохода на:

п

—6—(и п) = 6^1 = 2(км). и З

п

Відповідь: велосипедист обігнав пішохода в той момент, коли пішохода наздогнав мотоцикліст, на 2 км.

Задача 55.

Із пункту А в пункт В вийшов пішохід, і одночасно із пункту В в пункт А виїхав мотоцикліст. Зустрівши в дорозі пішохода, мотоцикліст одразу ж розвернувся, довіз пішохода до пункту В, а потім одразу ж знову поїхав в пункт А, куди дістався без перешкод. В результаті цього мотоцикліст затратив на дорогу до пункту А в два з половиною рази більше часу, ніж якби він їхав із пункту В в пункт А, не підвозячи пішохода. В скільки разів повільніше пішохід дістався б до пункту В, якби весь шлях від А до В він пройшов пішки?

Розв'язання:

км км

Позначимо через ип-      і им-відповідно швидкості пішохода

год год

і мотоцикліста, а через і годин — час, через який вони зустрілись.

За час і пішохід пройшов ип • і км, а мотоцикліст проїхав иї км.

Якби мотоцикліст не підвозив пішохода, то на шлях від В до А він

V г + v г _   . . .

витратив   би   —-м— годин.   Оскільки   мотоцикліст підвозив

V

пішохода, то він прибув в пункт А через

Зі +

V і

п_

V

годин. Із умови

5

задачі відомо, що на це він затратив в — разу більше часу, ніж у випадку, коли б він не підвозив пішохода, тому:

V 5

_м _ _

VI + v г 2

п м —^

V

м

Якби весь шлях від А до В пішохід пройшов пішки, то він

затратив би на весь шлях і +

V і

V

годин, а в дійсності він затратив на

п )

весь шлях 2г годин. В задачі потрібно знайти, в скільки разів час

і +

V і

і +

V і

V

більший часу 2і, тобто, потрібно знайти величину

V

чи величину 1 + —

V

2

Зі +

Із

V і

п

V

+ V і

5 2 маємо:

Зv +v 5

_м_п_ _ _

V +v 2

п

2і

звідки

V

V ( V

6v + 2v = 5v + 5v чи V = 3v , тобто, — = 3. Отже,  1 + —

V \ V

2 = 2,

тобто, якби мотоцикліст не підвозив пішохода, то пішохід дістався б до А в два рази повільніше.

Відповідь: пішохід дістався б до пункту В в 2 рази повільніше, якби весь шлях від А до В він пройшов пішки.

Задача 56.

Два тіла рухаються рівномірно назустріч одне одному і відстань між ними зменшується на £1 = 16м за кожні гі = 10с. Якщо ці тіла з такими самими швидкостями рухатимуться в одному напрямі, то відстань між ними збільшуватиметься на £2 = 3м за кожні г2 = 5с. З якою швидкістю рухається кожне з цих тіл?

Систему координат зв'яжемо з першим тілом і вісь 08 спрямуємо в напрямі швидкості и1 першого тіла. У цій системі відліку перше тіло перебуває в спокої, а друге рухається відносно першого з швидкістю и +и2 у першому випадку і з швидкістю и - и2

в другому. Тоді 81 =(и +и2)• їх і 82 =(и1 -и2)ґ2, або и1 + и2 = і

82

Додаючи   і   віднімаючи   праві   частини   останніх рівнянь,

дістанемо 2и = + і 2и2 = — —-, звідки

*1    ^ іх і2

м . м и1 = 1,1 і и2 = 0,5 — . с с

Відповідь: перше тіло рухається зі швидкістю 1,1м, друге тіло

с

м

рухається зі швидкістю 0,5 —.

с

Задача 57.

О Автомобілі А і В з однаковою

/ \. швидкістю   ь1 = и2 = 20 рухаються

/ \. по двох шосе, які перетинаються в

У2 \^ ~        В Т0ЧЦІ ^ п*д КУТ0М а60°. Визначити

І    мінімальну відстань між

мал.14 \. автомобілями, якщо в певний момент

вони    знаходилися    на відстанях и2   £   сіх= 30і сі2 = 60км від перехрестя доріг.

Розв'язання:

Задачі такого типу зручно розв'язувати в системі відліку, зв'язаній з одним із рухомих тіл. Припустимо, що систему відліку ми зв'язали з автомобілем В, тобто в цій системі автомобіль В нерухомий, а автомобіль А рухається відносно В. Знайдемо відносну швидкість автомобіля А. Для цього з кінця вектора швидкості и1 відкладемо вектор -и2, тоді відносна швидкість автомобіля А буде

ve =v1 - v2. Отже, спостерігач, який сидить в автомобілі В, вважає,

що автомобіль А рухається по лінії АС. Щоб знайти мінімальну відстань між автомобілями, опустимо з точки В на продовження лінії АС перпендикуляр BD, який і буде мінімальною відстанню BD = (OB - OA)sin 6Q0 = (d2 - d1)sin 6Q° » 25,6(км).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 


Похожие статьи

С І Вавилов - Задачі фізичного змісту при вивченні математики в загальноосвітній школі