Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

де V кількість молей речовини (моль); — маса речовини (кг); молярна маса (кг/моль).

Густина речовини

-

Р = V, (7.4) де — маса речовини (кг); V об'єм, що займає речовина (м3). Концентрація молекул

п = V, (7.5) де N кількість молекул; V об'єм (м3).

Тиск, що створює ідеальний газ (основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії):

1 2 2

р = - — оп(-и ) = -п(ГГ), (7.6)

3 3

7. Основи молекулярної фізики. !зопроцеси

де mo - маса молекули газу (кг); n - концентрація моле­кул (м-3); {v2) - середнє значення квадрата швидкості моле­кул (м2/с4); {W) - середня кінетична енергія молекул газу (Дж).

Тиск суміші газів, що хімічно не взаємодіють (закон Дальтона): P = Pi + P2 + ••• + Pn, (7.7)

де pi (Па) - парціальні тиски (тиски, що створював би кожний газ окремо, якщо б тільки він знаходився у посудині); n - кіль­кість газів.

Середня кінетична енергія руху молекул

{W) = |kT, (7.8)

де k = І, ЗВ І0-23 Дж/К - стала Больцмана; T - абсолютна температура (К); i - кількість ступенів вільності.

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії для ідеального газу (i = З) із урахуванням сталої Больцмана (див. (7.6), (7.8))

p = nkT (7.9) Рівняння стану газу (рівняння Менделєєва-Клапейрона)

m

pV = RT, (7.10)

де R = В, ЗІ Дж/(моль-К) - універсальна газова стала. Рівняння Клапейрона для сталої маси газу

pV = const- (7.11)

Закон Бойля-Маріотта для ізотермічного процесу (T = const):

piVi = p2V2^ (7.12)

Закон Гей-Люссака для ізобарного процесу (p = const)

Закон Шарля для ізохорного процесу (V = const)

pi = Ti • (7.14)

• Зв'язок температури t, вираженої у градусах Цельсія (°С) із аб­солютною температурою T, що вимірюється у кельвінах (K):

T = t + 273, Іб^ (7.15) Приклади розв'язання задач

7.1. Знайдіть масу молекули кисню.

— = 0,032 кг/моль, Na = б, 02 ■ І023 моль-1

mo-?

Масу одного молю кисню знайдемо за таблицею Менделєєва: відносна маса атома кисню мг = 16 а.о.м. Отже, ма­са молекули кисню 02 буде дорівнюва­ти 32 а.о.м. Ця маса зв'язана з молярною співвідношенням (7.1):

/і = мг 10-3 = 32 10-3 (кг/моль).

В одному молі будь-якого газу міститься число молекул, що дорів­нює n4. Тому маса однієї молекули визначається таким чином (7.1):

/і

m0 = Na'

Обчислимо це значення:

32 • 10-3 26 , ч

т° = 6, 02 . 1023 =5, 32 ^ 10-26 )-

7.2. Знайти значення середньої квадратичної швидкості вільного електрона при температурі 23°С.

7. Основи молекулярної фізики. Ізопроцеси

і =

3,

Т =

= 250 К,

т =

= 9,11 • 10-31 кг,

к =

1, 38 • 10-23 Дж/К

УКВ

?

швидкості:

Використовуючи співвідношення (7.8) та вираз для кінетичної енергії, запишемо

ш(у2) = 3кТ 2    = ~~2~~' Звідси можна визначити середній квадрат

3кТ

(у2 )

т

Середня квадратична швидкість — це квадратний корінь із сере­днього квадрата швидкості молекул:

3кТ

т

Знайдемо числове значення цієї швидкості:

'3 • 1, 38 • 10-23 • 250

9, 11 10

31

= 1, 07 • 105

7.3. Густина газу в балоні електричної лампи 0,9 кг/м3. При горінні лампи середня квадратична швидкість молекул газу в ній зросла від 547 м/с до 632 м/с. На скільки змінився при цьому тиск у лампі?

р = 0, 9 кг/м3, лДй2) = 547 м/с, лДу22) = 632 м/с

При нагріванні газу збільшується швидкість руху молекул, тому збільшується кількість уда­рів за одиницю часу об стінки посудини, в якій знаходиться газ. Завдяки цьому збільшується імпульс сили, що діє на стінку при ударі моле­кули, з яким пов'язаний тиск р. Отже, будемо шукати різницю тисків як

Ар = р2 - рі,

де рі і р2 — тиски при різних температурах. Тиск газу на стінку визна­чається за формулою (7.6):

р = 1 шоп{у2),

3

де шо — маса молекули, а концентрація п визначається за формулою

п е N — кількість молекул; V — об'єм системи. З останнього виразу можна виразити добуток топ:

топ = —^7~,

а добуток маси молекули на їх кількість т,(^ — це загальна маса газу т. Згідно з цим та виразом (7.4) матимемо

т

топ = V = Р,

де р — густина газу. Підставляючи цей результат у вираз для тиску, отримуємо 1

або для різниці тисків

р = 3 р(у2)

Ар = 3р(у2) - 1 р(у2) = 3р ((у2) _ (у2)) . Після розрахунку одержимо

Ар = 1 р О2.) _ (уІ2)) = 1 0, 9 (6322 - 5472) = 30064, 5 (Па).

33

Таким чином, тиск у працюючій лампі на 30 кПа більший, ніж у вимкненій лампі при кімнатній температурі.

7.4. Скільки молекул повітря знаходиться в кімнаті з об'ємом 240 м3 при температурі 15°С та тиску 750 мм рт. ст.?

Спочатку переведемо тиск із мм рт. ст. у паскалі. Відомо, що тиск за нор­мальних умов ро = 101325 Па, або р0 = 760 мм рт. ст. Відповідно до пропор-

ці1 = 101325 рі

Р =      760 , де р1 — це тиск, що виражений у мм рт. ст.

Згідно з нашими значеннями

101325 750 4 р =---= 9, 999 104 Па.

760

Перейдемо безпосередньо до розв'язування задачі. Кількість мо­лекул N можна знайти, використовуючи визначення числа Авогадро

(7.3):

V =

= 240 м3,

Т =

= 288 К,

р =

9,999 • 104 Па,

я =

= 8,31 Дж/(моль^К),

 

= 6, 02 • 1023 моль-1

N—

?

7. Основи молекулярноїфізики. Ізопроцеси

де V кількість молей газу, яке знайдемо із рівняння стану газу Менделєєва-Клапейрона (7.10):

ш

v = = дТ' Отже, з останніх двох рівностей маємо

N = ^

Знайдемо числове значення:

ЛТ    9, 999 • 104 • 240 • 6, 02 • 1023 л 27

N =----= 6, 04 • 1027'

8, 31•288 '

7.5. У воді спливає бульбашка з повітрям. Коли вона знаходиться на глибині 3 м, її об'єм дорівнює 5 мм3. Який об'єм бульбашки, ко­ли вона знаходиться поблизу поверхні водоймища? Атмосферний тиск брати за нормальних умов, зміну температури бульбашки не врахову­вати.

Н = 3 м,

VI = 5 • 10-9 м3,

ро = 101325 Па,

р = 1000 кг/м3, д = 9, 8 м/с2

Запишемо рівняння Менделєєва-Клапейрона (7.10) для двох станів бульбашки — на глибині Н = 3 м та біля поверхні води, коли Н = 0:

тт

р^ = ЖяТ  р^2 = МЯТ

де р1, V — тиск та об'єм бульбашки на глибині, а р2, ^ — на поверхні. Тут враховано, що маса газу в бульбашці т та її температура Т залишаються сталими. З останніх рівнянь маємо

= Р2V2.

Звідси виразимо т,

р2

Тиск на глибині визначимо як суму атмосферного та гідростатично­го:

рі = ро + рдН,

а тиск на поверхні дорівнює атмосферному, тобто р2 = р0. Складовою тиску (3.10), що виникає за рахунок сил поверхневого натягу, нехтує­мо. Після підстановки цих значень маємо кінцеву формулу

Знайдемо це значення:

Уі =

5 • 10-9 (101325 + 1000 • 9, 8 • 3) 101325

= 6, 451 • 10-9 (м3).

7.6. При нагріванні газу на 1 К при сталому тиску його об'єм збіль­шився удвічі. В якому інтервалі температур відбувалося нагрівання?

АТ = 1 К, Уі = 2Уі,

Р = ЄОП8І

Ті, Ті-? співвідношенням

В описаному випадку відбувається ізобарний про­цес, отже, справедливим є закон Гей-Люссака (7.13):

Vi = Ті

У2       Т2 '

Згідно з умовою температури обох станів газу пов'язані

Ті = Ті + АТ

В результаті матимемо

Уі Ті 2Уі     Ті + АТ

2Уі

Уі Ті

= 1,   Ті = АТ = 1 (К).

2=1+

АТ

Ті ,

Ті + АТ

АТ

Тепер можна знайти температуру після процесу нагрівання: Ті = Ті + АТ = 1 + 1 = 2 (К).

7.7. У циліндрі під поршнем знаходиться повітря при тиску 2 • 105 Па та температурі 27°С. Якої ваги вантаж потрібно покласти на поршень після нагрівання повітря до температури 50°С, щоб об'єм газу в циліндрі не змінився? Площа поршня 30 см1.

У задачі не змінюються об'єм та маса газу, отже, відбувається ізохорний процес, для якого справедливим є закон Шарля (7.14):

Рі = Ті Рі    Ті.

Оскільки в другому випадку на поршень дода­тково поклали вантаж вагою Р, то тиск при цьому збільшився на ве­личину Р/Б, тобто

Рі

= 2 • 105 Па,

Ті

= 300 К,

Ті

= 323 К,

Б =

= 3 • 10-3 мі

Р -

 

Р    Р + Брі

рі = рі + б = —б—,

або після підстановки цього тиску у наведений вище закон Шарля

Рі БТі = РТі + БріТі,   Р = Брі(Т! - Ті),

Т

й після розрахунків

Р = БРі (Ті - Ті) = 3 • 10-3 • 2 • 105 • (323 - 300) =

Ті 300 ( ).

7.8. Закритий з обох кінців горизонтальний циліндр наповнений га­зом при тиску 100 кПа і температурі 30°С та розділений легким рухо­мим поршнем на дві рівні частини із довжиною 50 см кожна. На яку величину потрібно підвищити температуру газу в лівій частині цилін­дра, щоб поршень змістився на відстань 20 см? У правій частині цилін­дра при нагріванні лівої частини температура не змінюється. Визначи­ти тиск газу після зміщення поршня.

Pi = 105 Па, Ti = 303 К, l = 0, 5 м, Al = 0, 2 м

AT, P2

Якщо поршень знаходиться у стані рівноваги, то тиски по обидві його сторони однакові. До нагрівання системи тиски у лівій та правій частинах циліндра бу­демо позначати pi, температури до нагрівання також однакові, позначимо і'х T1. За умовою задачі поршень спочатку розділяє циліндр на дві рівні частини, отже, однакові також і об'єми цих частин, позначимо і'х V1.

Після нагрівання лівої частини знову встановлюється стан рівно­ваги, отже, в обох частинах знову встановляться однакові тиски, по­значимо і'х p2. Температура правої частини не змінюється, тому дорів­нює Ti. Оскільки ліва частина нагрівається, позначимо її температуру T2. Об'єми обох частин змінюються, оскільки поршень переміщається. Позначимо об'єм лівої частини V/, а об'єм правої V2'.

Рівняння стану для лівої частини поршня записується у представ­ленні Клапейрона (7.11):

pV

— = constскільки для неї після нагрівання змінюються всі три параметри р, V, Т. Отже, для двох станів запишемо

РіУі = Р2У/ Ті   =  Т2 '

Для правої частини залишається незмінною температура, тому згідно з (7.12) лг

РіУі = Р2У2,     Р2 = -гтг'

Після підстановки знайденого р2 до рівняння стану газу в лівій ча­стині циліндра матимемо

р і Уі = V' р іУі     1 = V/     т     = т Ті = Т2 у>' ,  Ті = Т2у>',       = 2'

Ми отримали закон, подібний до закону Гей-Люссака (7.13), але для різних областей циліндра. Об'єм циліндра можна знайти за фор­мулою V = 5І, де 5 — площа перерізу циліндра; І його довжина. Згідно з умовою задачі матимемо:

V! = І5,   V/ = (І + ДІ)5,   V,' = (І - ДІ)5,

або після підстановки до останнього виразу та скорочення 5

+ ДІ)Т = - ді)Т2, Т2 = (І +-ДД)ІТі'

За умовою задачі потрібно знайти різницю температур, отже, має­мо ДТ    Т    Т     ІТі + ДІТі    Т     2Ті ДІ

Знайдемо числове значення шуканої величини: ДТ =2ТЇДІ = 2 ■ 308-0.2 = 404

Тиск, що встановився після нагрівання, знайдемо за раніше отри­маною формулою:

Р2 = -уг = -ді)5 = г-дї = 0-5-0:2 = 1,67 -10 (Па)'

7.9. Горизонтальну циліндричну посудину довжиною 36 см розді­лено легким рухомим поршнем на дві частини. В одній частині знахо­диться кисень, в іншій — вдвічі менша маса водню. Яку частину об'єму буде займати водень? Температура газів однакова.

І = 0, 36 М, гл   

Оскільки поршень знаходиться в рів-

тк = 2тв,              г-    -           ■ ■

о    / новазі, тиски з обох його сторін однакові.

дк = 32 10 3 кг/моль, 0                                         .      . .

^                / Запишемо для водню та кисню відповідні

нв = 2 10 3 кг/моль, .                 /-7 ш\

\"~ рівняння стану (7.10):

T = const_ F                j\ >

Vb/V-? pVk = — RT,   pVB = — RT.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання