Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 15

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

Зміна ентропії при плавленні тіла

де А — питома теплота плавлення або тверднення (Дж/кг). Зміна ентропії при пароутворенні

/\Snap = т~, (9-6)

де г питома теплота пароутворення або конденсації (Дж/кг). Зміна ентропії при адіабатному процесі

ДБад — 0. (9.7)

Формула Больцмана для визначення ентропії

5 к Іп IV, (9.8)

де термодинамічна ймовірність, яка дорівнює кілько­сті мікростанів, що відповідають даному макростанові системи; к — 1,38 • 10-23 Дж/К — стала Больцмана.

Швидкість зміни ентропії для стаціонарного стану в живому ор­ганізмі

05 + (99) а* — а* + dt, (9.9)

де сі£і/(іі — швидкість зміни ентропії, що пов'язана з необорот­ними процесами в біологічній системі; аІ£є/с— швидкість змі­ни ентропії внаслідок взаємодії системи з навколишнім середо­вищем.

Зміна ентропії при змішуванні ідеальних газів при сталих темпе­ратурі та тиску, якщо и\ молів одного газу, що займає об'єм VI, змішується із и2 молями іншого газу, який займає об'єм У2, та у рівноважному стані загальний об'єм газів дорівнює У\ + У2\

Ул + Уі Ул + Уі

ДБ ухК Іп  1 + 2 + У2К Іп  1 + 2. (9.10)

л 2

Приклади розв'язання задач

9.1. У результаті колового процесу газ здійснив роботу А — 1 Дж та передав охолоджувачу кількість теплоти 32 — 4,2 Дж. Знайти тер­мічний ККД п циклу.

А = 1 Дж, З = 4, 2 Дж

Термічний ККД розраховується за формулою (9.1):

Зі - З2

Зі

п—?

де частина кількості теплоти 3Л йде на здійснення роботи А, а частина передається охолоджувачу, тобто

Зі — З2 + А.

Після підстановки цього виразу у попередній матимемо

З2 + А - 0>2 А

або після розрахунку

А

п =

32 + А

1

32 + А    4, 2 + 1

32 + А = 0,1923 = 19,23%.

9.2. Ідеальний двоатомний газ, що містить кількість речовини V — 1 моль, здійснює цикл, що складається із двох ізохор та двох ізо­бар. Найменший об'єм 1/тіп — 10 л, найбільший Утах — 20 л, наймен­ший тиск ртіп — 246 кПа, найбільший ртах — 410 кПа. Побудувати графік циклу. Знайти температури Т газу для характерних точок циклу та термічний ККД п.

і = 5,

V = 1 моль,

Утіп = 10"2 М3, Утах = 2 • 10-2 М3,

Ртіп = 246 • 103 Па, Ртах = 410 • 103 Па, Я = 8,31 Дж/(моль-К)

Ті234,П-?

Спочатку зобразимо процес у коорди­натах р(V) (див. рис. 9.1). На цьому рисун­ку показано циклічний процес, що склада­ється із двох ізохор (процеси 1-2 та 3-4) і двох ізобар (2-3 та 4-1). Значення об'ємів та тисків у всіх характерних точках циклу показано на рисунку. Знайдемо температу­ри системи у цих точках. Відповідно до рів­няння стану газу Менделєєва-Клапейрона (7.10)

0

23

р р

тах

0

12

+ 0

тт

0

41

тт

34

та

Рисунок 9.1

рУ = vЯT, Т

рУ

Отже, у всіх точках система матиме різні температури: тіп     246-103 -10-[4]

Ті =

Т2 =

ртіп у тіп ртах Утіп

1 • 8, 31

410 • 103 • 10"[5]

Т3 =

Т4 =

ртах Утах ртіп Утах

18

410 10

18

31

2 • 10"

31

= 296 ( ), = 493 ( ),

2

- = 987 (К),

31

= 592 ( ).

1 • 8,

На рисунку стрілками показана кількість теплоти, яка надається системі нагрівачем (стрілки спрямовані всередину циклу) та яку си­стема передає охолоджувачу (стрілки спрямовані назовні). Термічний ККД розраховується за формулою (9.1):

Зі - 32

п =

Зі

де Зі — кількість теплоти, яку отримує робоче тіло від нагрівача; 32 — кількість теплоти, що передається робочим тілом охолоджувачу, де у нашому випадку

Кількість теплоти при ізохорному процесі розраховується відпо­відно до першого закону термодинаміки (8.10) за формулою (8.20):

Зізохо р = у АТ^ а при ізобарному процесі — за формулою (8.19)

Зізобар = ІД^

де молярні теплоємності при сталому об'ємі Су та тиску Ср визначає­мо за формулами (8.5), (8.6):

С      ІЯ    С     (і + 2

Комбінуючи ці вирази, знайдемо значення Зі та З2:

31 = Зі2 + З23 = у 2 - Ті) + г/Ср(Т3 - Т2) =

= ^ (Т2 - Ті) + V ^(Т3 - Т2) = = ^ [і(Т2 - Ті) + + 2)(Т3 - Т2)] =

1 8 31

= —2--[5^(493-296) + (5+2)^(987-493)] = 18461 (Дж),

32 = З34 + З = vCу 4 - Т3) + vCp(Tl - Т4) =

= ^ (Т4 - Т3)+ V^(Ті - Т4) =

= ^ [і(Т4 - Т3) + + 2)(Ті - Т4)] =

1 8, 31

= —2--[5^(592-987) + (5+2>(296 - 592)] = -16815 (Дж).

Знак "-" у значенні З2 свідчить про те, що система втрачає цю теплоту. Іншими словами, вона набуває теплоту із від'ємним значен­ням. Тому у формулі для розрахунку термічного ККД (9.1) теплоту З2 потрібно брати за абсолютним значенням, оскільки в цій формулі це теплота, яку віддає система. Отже, маємо

Зі - ІЗ2|     18461 - 16815

Оскільки значення ККД досить низьке, будувати теплову маши­ну, що працює за циклом, який замикається двома ізохорами та двома ізобарами, немає сенсу. Тому теплові машини зазвичай працюють за циклом Карно, що складається з двох ізотерм та двох адіабат і має на­багато більший ККД.

9.3. Одноатомний газ, що містить кількість речовини V = 0,1 кмоль, під тиском р1 = 100 кПа займав об'єм У = 5 м3. Газ стискувався ізобарно до об'єму У2 = 1 м3, потім стискувався адіабатно та розширювався при сталій температурі до початкових тиску та об'єму. Побудувати графік процесу. Знайти: 1) температури Ті, Т2, об'єм У3 та тискр3, що відповідають характерним точкам циклу; 2) кількість теплоти що отримав газ від нагрівача; 3) кількість теплоти З2, що передав газ охолоджувачу; 4) роботу А, яку здійснив газ за увесь цикл; 5) термічний ККД п циклу.

ку реалізується замкнений цикл, що складається із ізобари, адіабати та ізотерми. Нехай у точці 1 система має значення рі, Уі,Ті, у точці 2 — значення рі, У2,Т2, та у точці 3 параметри стану набувають зна­чень р3, У"3,Ті. Характерні температури знайдемо за рівнянням стану Менделєєва-Клапейрона (7.10):

Рі = 105 Па, V! = 5 м3, У> = 1 м3,

Я = 8,31 Дж/(моль-К)

Ті2,У,,р3, Зі2,А,п—?

і = 3,

V = 100 моль,

Для розв'язання задачі спочатку пот­рібно схематично побудувати рисунок уко-ординатах р(У). Після розв'язання можна вже побудувати точний рисунок із викори­станням відомих газових законів та харак­терних точок. Ми наведемо лише точний рисунок процесу (рис. 9.2). Для зручно­сті подання на цьому рисунку застосова­но логарифмічну вісь ординат. На рисун-

= vЯT, Т

РіУі

105 5

602 ( )

100• 8, 31

105 1

РіУ2 тЯ

100• 8, 31

120 (К).

10

0.01 1—'—1-1—1—'—1—'—1—'—1—'—1—'—

0       1       2       3       4       5 у, м3

Рисунок 9.2

Для знаходження об'єму У3 використаємо рівняння адіабати (8.17):

Т^7"1 = Ті У7"1,

зліва в якому підставлено параметри для точки 2, а праворуч — пара­метри точки 3. Виразимо із цього рівняння об'єм У3:

тт = 1^  , \т~.)   = У2, У3 = ЧТг)

Показник адіабати розраховується за формулою (8.8):

Ср     і + 2

7 =

звідки випливає вираз

Су і 1 і

= 0, 5і.

7 - 1 2

Отже, остаточне співвідношення для знаходження У3 набирає ви­гляду / Т Х0,5і

У3=ч Ті)

або після підстановки відомих та знайдених значень

/120\°'5'3

У3 = 1 Ч 602)    = 0,089 (м3}.

Тиск р3 можна знайти із використанням рівняння (8.17), але оскільки у точці 3 тепер відомі температура та об'єм, набагато прості­ше використати рівняння (7.10):

vRT1   100 8, 31 602 6 , ч

Р3У3^ЯТЬ   ї^-у-1=--= 5, 621 106 (Па).

Усі параметри для характерних точок знайдено. Зараз знайдемо кіль­кості тепла, які надаються системі у всіх процесах. Для ізобарного процесу 1—2 кількість тепла знаходиться за формулами (8.19), (8.6):

З = vCpAT,   Ср =(І±2)^ Для нашого випадку

З  = "(і + 2)д (Т   Т)

З12 = -2-2 -

= 100 • (3 + 2) • 8, 31 ^ (120 - 602) = -1001355 (Дж).

Знак "-" означає, що у цьому процесі система віддає тепло зовнішнім тілам.

Оскільки процес 2-3 адіабатний, у ньому немає обміну теплотою із зовнішнім середовищем та З23 = 0 (див. (8.22)).

В ізотермічному процесі 3-1 теплота розраховується за формулою

(8.21):

З = vRTl 1п ^ = 100 8, 31 602 1п -|— = 2015334 (Дж). У3 0,089

Згідно з умовою задачі З1 = З31 = 2015334 Дж, З2 = ІЗ12І = 1001355 Дж.

Робота газу А — це різниця між теплотою, що газ отримав від на-грівача З1 та теплотою, яку він передав охолоджувачу З2:

А = Зі - З* = 2015334 - 1001355 = 1013979 (Дж). Тепер розрахуємо останню необхідну величину — термічний ККД п (9.1): Зі - 32     А 1013979

п = ^н~ = Зі = 2015334 = 0,503 = 50,3%

9.4. Ідеальний газ здійснює цикл Карно. Температура Т1 нагрівача 470 К, температура Т2 охолоджувача 280 К. При ізотермічному роз­ширенні газ здійснює роботу А = 100 Дж. Визначити термічний ККД п циклу, а також кількість теплоти <52, яку газ віддає охолоджувачу при ізотермічному стисканні.

ті = 470 К, т2 = 280 К, а = 100 Дж

Цикл Карно — це зворотний коловий процес, що складається з двох ізотермічних та двох адіабатних процесів. Уперше такий цикл був розглянутий фран­цузьким інженером Л.С. Карно у 1824 р. у зв'язку з визначенням ККД теплових машин. ККД циклу Карно не залежить від властивостей робочого тіла (пари, газу та ін.), а ви­значається лише температурою нагрівача Т1 та охолоджувача Т2 (9.2):

Ті - Т2 Т2

П = ——-      = 1 —г-

1        Ті Ті

ККД будь-якої теплової машини не може бути більшим за ККД ци­кла Карно при тих самих Ті і Т2.

На рис. 9.3 наведено розрахований для параметрів даної задачі цикл Карно. Оскільки ККД циклу залежить лише від Т1 і Т2, для за-

р, кПа 12

8

0

1

041=0 \

<2і2> о

1: Рі, ^ Ті 2: Р2, У2, Т1

4: Р4, V, Т2

4^23= 0

034< 0

зошерма

0.01

0.02

0.03

0.04   V, м3

Рисунок 9.3

даних умов може реалізуватися багато циклів і для їх графічної реалі­

2

4

ації потрібні додаткові параметри. У випадку, показаному на рисунку, обрані значення і = 3, У1 = 0,01 м3, V = 0,04 моля. Ці значення мо­жуть бути будь-якими і при розв'язанні задачі не використовуються.

За умовою задачі відома робота А, яка виконується газом при ізо­термічному розширенні (процес 1-2). Робота в ізотермічному процесі визначається формулою (8.15):

Аі2 = vRTl 1п ^.

Згідно із першим законом термодинаміки (8.21) для такого процесу кількість теплоти Зі2 = Аі2. Оскільки у циклі Карно система отримує тепло від нагрівача лише у процесі 1-2 (а у процесі 3-4 віддає частину цього тепла охолоджувачу), то у формулі для визначення ККД теплової машини (9.1)

Зі 4/2

п =

3і

кількість теплоти чисельно дорівнює роботі ізотермічного розши­рення А, значення якої відоме в умові задачі. Після заміни матимемо

А - 32      л 32

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання