Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

З іншого боку, згідно із формулою (9.2)

, = 1 — —г-1 Ті

Прирівнявши два останніх співвідношення, матимемо

32 =   Т2   32 = Т2  3 = АТ2

1     А     1    Ті'    А     Ті'   32     Ті -Знайдемо це значення:

32 = " =59, ТО)-

ККД циклу може бути знайдений як через температури, так і через кількості теплоти:

, = ТіТ-Т2 = ^= 0, 4043 = 40, 43%,

п = ^ = = 0,4043 = 40,43%-

9.5. Зміна ентропії при розширенні 1 моля закису азоту ЇЧ20 від 10 л при сталій температурі становить 5,8 Дж/К. Який кінцевий об'єм газу?

Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання

V =

1 моль,

Уі =

= 10-2 м3,

Д£

= 5, 8 Дж/К,

Я =

8, 31 Дж/(моль-К)

У>"

 

Загальна формула для визначення змі­ни ентропії у оборотному процесі має ви­гляд (9.3):

Т '

Оскільки температура газу за умовою не змінюється, матимемо

А5 = і|<13,   А5 = А3.

Зміна кількості теплоти в ізотермічному процесі розраховується за формулою (8.21):

Д4 = vЯT 1п

У2

отже, після поєднання цих формул отримаємо

vЯT 1п(У>/Уі Т

Д5* = 1п

Уі:

, У! Д£ 1п Уі = ^

У2 /Д^\       Т/ Т/

Розрахуємо це значення:

5, 8

У2 = Уі'ЄХ^^   =10"2 ' ЄХРІ18,31 = 0, 02 (м3).

9.6. Змішали воду масою ті = 5 кг при температурі Ті = 280 К з водою масою т2 = 8 кг при температурі Т2 = 350 К. Знайти темпера­туру в суміші та зміну ентропії, яка відбувається при змішуванні.

Із визначення питомої теплоємності (8.3) випливає вираз для кількості теплоти 3, що передається речовині масою т при її нагріван­ні на АТ:

3 = стАТ.

Після змішування двох частин води із різни­ми температурами із часом установиться стан термодинамічної рівноваги, у якому будь-яка частина суміші матиме однакову температуру в. У процесі встановлення рівноваги теплота від

ті = 5 кг, Ті = 280 К, т2 = 8 кг,

Т2 = 350 К,

с = 4200 Дж/(кг'К)

0, Д£ -більш нагрітої частини води переходить до менш нагрітої. Згідно із за­коном збереження енергії можна записати рівняння теплового балан­су:

3і = 32,

де це теплота, яку передає більш нагріта частина води, а 32 те­плота, якої набирає менш нагріта частина. Отже, з двох останніх рів­нянь отримаємо

сті- Ті) = ст2 2 - в),   ті - Ті) = т22 - в),

в(ті + т2) = т2Т2 + тіТі,   в =-

ті + т2

або після розрахунку

в = т2Т2 + тіТі = 8-350 + 5-280 = ^

ті + т2 5 + 8 '

Для розрахунку зміни ентропії системи використаємо загальну

13

формулу (9.3): 2

Д£ = , Т, і

де цифрами 1 та 2 умовно позначені межі інтегрування у початковому та кінцевому станах. Якщо використати співвідношення

= стёТ,

формула набирає вигляду

2

і

Оскільки початкова система складається з двох частин, матимемо

0 0 0 0

ї сті Г сто [ ёТ [ ёТ

Д5 = І іёТ + І -Т.ёТ = сті у — + ст^ — =

Ті Т2 Ті Т2

= сті 1п Т |Т1 + ст21п Т |Т2 = = сті(1п 9 - 1п Ті) + ст2(1п 9 - 1п Тг) =,   9 , 9

= СШі іп + СШ2 • іп —.

Т1 т2

Розрахуємо це значення:

99

д£ = ст1 іп + ст2 іп =

323 323

= 4200 5 іп-+ 4200 8 іп-

280 350

= 3000 - 2697 = 303

Дж К

т1

= 2 кг,

І1 =

= 0°с,

*2 =

= 100°с,

с =

4200 Дж/(кг-К),

г =

2260 • 103 Дж/кг,

Л =

330 • 103 Дж/кг

т2

 

9.7. Лід масою т1 =2 кг при температурi ї1 = 0°с був перетворе­ний у воду такої самої температури за допомогою пари, яка мала тем­пературу і2 = 100°с. Визначити масу т2 витраченої пари. Яка зміна ентропії д£ відбулася у систємі лід-пара?

Спочатку знайдемо масу пари, яка була витрачена на повне плавлення шматка льо­ду. Згідно закону збереження енергії запише­мо рівняння теплового балансу у вигляді

де О;1 теплота, яку набирає лід, а О2 те­плота, яку втрачає пара. Оскільки за умовою лід знаходиться при температурі плавлення ^ = 0°с, він під дією пари відразу почне плавитися. Для повного плавлення льоду йому потрібно надати кількість теплоти

О>1 = Лт-1,

де Л питома теплота плавлення льоду.

Пара у систему підводиться при температурі конденсації £2 = 100°с, отже, вона одразу буде віддавати тепло за рахунок конденсації. За умовою задачі у кінці процесу ми отримуємо воду із температурою ^ = 0°с, яка буде складатися із розплавленого льоду та сконденсованої пари. Оскільки пара конденсується при температурі £2 = 100°с, а кінцева температура води, що отримана з неї, дорівнює ^ = 0°с, вона буде віддавати тепло у двох процесах при конденсації та охолодженні до кінцевої температури. Отже, матимемоде с питома теплоємність води; г питома теплота пароутворен­ня (конденсації) води. Із рівняння теплового балансу матимемо

Ami = гто2 + cm-2(t2 - ti), Ami

m2 =-т-г

2      Г + C(t2 - ti)

або після розрахунку

m2 =-5-;-- = 0, 246 (кг).

2    2260 • 103 + 4200 • (100 - 0)      '      У 1

Знайдемо зміну ентропії у зазначених процесах. Оскільки лід пла­виться, для нього зміну ентропії розрахуємо за формулою (9.5):

= Ami

^SJIbOflV - гті .

T 1

При плавленні кристалічного льоду він перетворюється у воду, яка поводить себе більш хаотично (молекули переміщуються довільним чином по всьому об'єму, який займають), отже, ентропія у процесі плавлення збільшується і її потрібно брати зі знаком "+". Зміна ен­тропії для пари буде складатися з двох частин — зміни при конденсації (9.6) та наступної зміни при охолодженні сконденсованої пари (9.4):

=   rm2 + C . Ті

^SIiape - rri       + VCP ІП rri

T2 T2

де перший доданок узятий зі знаком — , оскільки ентропія пари при конденсації зменшується (вода більш впорядкована, ніж пара), а дру­гий доданок автоматично від'ємний, оскільки Ті < Т2. Відмітимо, що у формулі (9.4) Ті — це початкова температура, а Т2 — кінцева. У нашо­му випадку початкова температура пари позначена як Т2, а кінцева Т1, тому їх місця у формулі змінено. Використаємо зв'язок між молярною С та питомою с теплоємностями (8.4) і правило знаходження кількості молів речовини (7.2):

т т С = си,   V = —    =>    иСг, = — си = ст. и

Із урахуванням цього отримаємо

_   гт2 Ті

Т2 Т2

Загальна зміна ентропії Д£ у системі лід-пара дається сумою змін ентропій для льоду і пари:

льоду

пари

Аг—    гт2 , Т

-гт,---ту- + ст2 1п —.

Т1 Т2 Т2

Розрахуємо це значення, переводячи температури ^ і і2 в абсолют­ну шкалу Кельвіна Ті і Т2 за формулою (7.15):

330 • 103 -2

273

2260•103• 0,246    А А    , 273

-----+ 4200 • 0, 246 • 1 п —

373 ' 373

= 604, 6

Дж К

9.8. Знайти зміну ентропії при нагріванні 58,82 кг твердого В203 від 298 К до 700 К. Температурна залежність теплоємності В203 описується рівнянням Ср = 36, 5525 + 106, 345 • 10-3Т (в одиницях Дж-моль_1-К_1).

ті = 58, 82 кг, Ті = 298 К, Т2 = 700 К,

Ср = 36, 5525 + 106, 345 • 10-3Т, = 70 • 10-3 кг/моль

Д5-?

Використаємо загальну фор­мулу (9.3):

т .

Кількість теплоти при ізобарно­му процесі (8.19):

т

и

або після підстановки до інтегрального виразу

т ср ёТ = —

Ср

ёТ.

и Т      и Т

Оскільки температура системи змінюється від Т1 до Т2, ці значення є межами інтегрування:

Т2

Д5 = — / С ёТ = —

Ті Ті

36,5525 + 106, 345•10-3Т Т

ёТ =

Т2

—   36, 5525

Т2

Т

ёТ +

Ті

= 36, 5525

106, 345 • 10-3ёТ =

Ті

Т2

ёТ

Т2

Т

+ 106, 345•10"

Ті

Ті

ёТ =

36, 5525 • 1п Т|Т1 + ^ • 106, 345 • 1(Г3 • Т|^ =

(Т2 - Ті

36, 5525(1пТ2

1п Ті) + — • 106, 345 • 10-3

Т2

= — • 36, 5525 • 1п-^ + / Ті

• 106, 345 • 10-3 • (Т2 - Ті)

58, 82 7040­36, 5525 • 1п Т2 + 106, 345 • 10-3

36, 5525^ 1п 700 + 106, 345 10­' 298 '

Ті) =

(Т2

•(700 - 298Н =

= 62152, 6

Дж К

9.9. 12 г кисню охолоджують від 290 К до 233 К, одночасно підви­щуючи тиск від 1 атм до 60 атм. Як зміниться ентропія газу, якщо при­пустити, що теплоємність кисню в заданому температурному інтервалі не змінюється і дорівнює 32,9 Дж/(моль-К)?

Згідно із виразом (9.8) ентропія не за­лежить від характеру еволюції, а лише від конкретного стану системи. Отже, для знаходження необхідної зміни д£ пода­мо наш процес як два послідовних проце­си: 1) охолодження газу від Ті до Т2 при сталому тиску рі; 2) збільшення тиску від рі до р2 при сталій температурі Т2. При цьому ми переміщуємося між такими са­мими станами системи, що задані в умові та можемо розрахувати зміну ентропії як суму змін у двох вказаних по­слідовних процесах:

д£ = д + дб.

= 12 • 10-3 кг, Ті = 290 К,

Т2 = 233 К,

Рі = 105 Па,

Р2 = 60 • 105 Па,

Ср = 32,9 Дж/(моль-К),

/і = 32 • 10-3 кг/моль,

Е = 8,31 Дж/(моль-К)

д£ -

Оскільки в першому процесі відбувається охолодження при сталому тиску, зміну ентропії розраховуємо за формулою (9.4):

ASi = vCp ln

цес є ізоте формулою (9.3) матимемо

T2 т T2

.   ASi = Cp ln—.

A Ti

Другий процес є ізотермічним (T = const). Згідно із загальною

AS2 =

dQ T l

T

dQ =

AQ T .

Кількість теплоти в отриманому виразі визначатимемо за форму­лою для ізотермічного процесу (8.21):

дд = тЕТ іп £.

Після поєднання двох останніх виразів одержимо:

т RT V2

AS2 =--ln.

2    A T     Vi.

Оскільки маса газу не змінюється, для визначення відношення об'ємів використаємо рівняння Клапейрона (7.11):

РіУі = Р2У2 У2 = Рі Т2

Ті  Т2 ' Уі = Р2 Ті.

Із урахуванням цього формула для розрахунку зміни ентропії в ізотер­мічному процесі набирає вигляду

Д52 = ™Е 1п(^

Отже, отримуємо загальну формулу для розрахунку зміни ентропії Д£ у заданому в умові процесі:

д£ = Ср ш — + — Е1п —— / Ті      / \Р2?і

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання