Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

1.7. У морі плаває крижина, частина якої об'ємом 195 м3 знахо­диться над водою. Знайдіть об'єм усієї крижини та її підводної частини. Густина льоду 800 кг/м3, густина морської води 1030 кг/м3.

На крижину діють виштовхувальна сила Ар­хімеда (1.7) і сила тяжіння (1.8), які протилежно напрямлені. Оскільки крижина плаває у рідині, ці сили однакові за модулем (1.9):

Fa = Fт,

або із урахуванням (1.7) і (1.8):

pBgV> = mg,

де через V2 позначено об'єм крижини, що знаходиться у воді. Маса крижини може бути знайдена як

m = рдУ,

Vi =

195 м3,

Рл —

800 кг/м3,

рв =

1030 кг/м3

V,V2

?

де V — об'єм усієї крижини. Отже, рівняння набирає вигляду рвд^2 = рл = рлК

Врахуємо, що загальний об'єм крижини може бути знайдений за формулою

V = VI + V*. Підставимо цей об'єм у передостаннє рівняння:

Рі^2 = PлV,     Рі^2 = рл (VI + V2),     Рг^2 = ^Vl + рлV2, V2(рв - Рл) = Рл^,     V2 =

рв Рл

Розрахуємо числове значення об'єму крижини V2, що знаходиться

підводою: „      800 • 195 , 3л

V2 =-= 678, 3 (м3).

2     1030 - 800 '   v ;

Загальний об'єм крижини

V = Vi + V2 = 195 + 678, 3 = 873, 3 (м3).

1.8. З яким прискоренням спливає тіло із густиною 0,95 • 103 кг/м3 у рідині із густиною 1,15 • 103 кг/м3? Силою тертя під час руху тіла в рідині знехтувати.

pT — 950 кг/м3, ppll50 кг/м3, g — 9, B м/с2

На рис. 1.4 показано сили, що діють на тіло, що спливає — це виштовхувальна сила Архімеда, що спрямована вгору, та сила тяжіння, спрямова­на вниз. Силою тертя згідно з умовою нехтуємо. Оскільки в даному випадку сила Архімеда більша за модулем, ніж сила тяжіння, ці сили нескомпенсовані, і тіло спливає із прискоренням а, модуль якого спрямований угору. Запишемо другий закон Ньютона:

рА + тд — та.

У проекціях на вісь Ох це рівняння набирає вигляду

іа тд — та.

Визначимо силу Архімеда як (1.7), а масу тіла як добуток його гу­стини та об'єму:

Після підстановки цих величин у рівняння руху маємо

Після підстановки числових значень отримаємо відповідь 9, 8 • (1150 - 950) ___/м'

а=

950

= 2, 06

1.9. Порожниста скляна куля плаває у воді, занурена наполовину. Зовнішній об'єм кулі 200 см3. Знайдіть об'єм порожнини кулі. Густина скла 2, 5 • 103 кг/м3.

V = 2 • 10-4 м3, = 2500 кг/м3,

= 1000 кг/м3

Нехай V — це зовнішній об'єм усієї кулі, а V) — об'єм її порожнини. Тоді об'єм скла, що пі­шло на виготовлення кулі, можна обчислити як

Кк = V - V).

На кулю діють сила Архімеда та сила тяжін-

ня. Оскільки куля плаває, запишемо умову плавання тіла (1.9): Сила Архімеда у нашому випадку

г А = /-адУзан =     ~ ^

Знайдемо масу скла:т = РскКк = Рск{У - Уо)-

Сила тяжіння із урахуванням цього запишеться як

іт = тд = рск{У - Уо)д-

Прирівнюємо цю силу до сили Архімеда згідно з умовою плавання тіл і отримуємо

= рск{У - Уо)д,   — = рск{У - Уо), У - Уо = Р^У,   Уо = У - Р^У,   Уо = У Рв

ск 2рск у 2рСк

або після підстановки числових значень

Уо = 2 • 10-4 • (і -J^) =і, 6 . ю-4 {м3)-о                 V      2-2500 /      ' 1 ;

Задачі для самостійного розв'язування

1.10. Спостерігаючи під мікроскопом за рухом еритроцитів у капі­лярі, можна виміряти швидкість руху крові (укр = 0, 5 мм/с). Середня швидкість кровотоку в аорті становить va = 40 см/с. На основі цих да­них визначити, у скільки разів сума поперечних перерізів усіх функціо­нуючих капілярів більша від перерізу аорти.

1.11 к горизонтально розташованого медичного шприца діаметром 1, 5 см видавлюється фізіологічний розчин із силою і = 10 Н. Швид­кість витікання рідини з голки шприца 10,49 м/с. Густина фізіологічно­го розчину р = 1,03 г/см3. Знайти величину перерізу голки.

1.12. Швидкість течії води у всіх перерізах нахиленої труби одна­кова. Знайти різницю тисків Ар у двох точках, висоти яких над рівнем Землі відрізняються на АЛ = 0, 5 м. Чому дорівнює Ар, якщо система: а) знаходиться у стані невагомості; б) зазнає трикратного переванта­ження (тобто рухається із прискоренням а = 2д у полі сил тяжіння)?

1.13. У широкій частині горизонтальної труби вода тече зі швидкі­стю V = 50 см/с. Знайти швидкість течії рідини у вузькій частині труби, якщо різниця тисків у широкій та вузькій її частинах Ар = 1,33 кПа.

1.14. Трубка Піто (рис. 1.5 а) дозволяє по висоті стовпчика ріди­ни вимірювати повний тиск p. Статичний тиск p1 у рідині, що руха­ється, вимірюється трубкою, нижній переріз якої паралельний лініям потоку (рис. 1.5 б). Визначити швидкість течії гасу, якщо відомо, що p = 13,3 кПа, p1 = 2,66 кПа. Густина гасу р = 800 кг/м3.

a)

 

б)

 

-—~_j

-=-1

 

 

Рисунок 1.5

1.15. Із невеликого отвору в дні широкої посудини витікає рідина. Знайти найбільшу швидкість рідини, якщо відомо, що висота рідини в посудині Л = 1 м. Пояснити, чому розв'язок задачі не залежить від властивостей рідини, що витікає із посудини.

1.16. По горизонтальній трубці змінного перерізу протікає вода. Статичний тиск у точці ж0 дорівнює ро = 0,3 Па, а швидкість води ■и0 = 4 см/с. Знайдіть статичний і динамічний тиски в точці жі, якщо відношення перерізів труби £Х0/5Х1 = 0, 5.

1.17. На деяких залізницях поповнення паровозного казана водою проводиться без зупинки паровоза. Для цієї мети застосовується зі­гнута під прямим кутом труба, яка опускається на ходу паровоза в ка­наву з водою, прокладену уздовж рейок. При якій швидкості паровоза вода може піднятися на висоту 3 м?

1.18. Який тиск на дно та бокову стінку здійснює шар гасу висотою 0,5 м? Чому дорівнює повний тиск на дно? Знайдіть силу тиску гасу на дно та бокову стінку. Посудина являє собою циліндр із діаметром основи 10 см.

1.19. На якій глибині у морі гідростатичний тиск дорівнює

4,12 • 105 Па? Чому дорівнює повний тиск на цій глибині? Атмосфер­ний тиск нормальний.

1.20. У високу циліндричну посудину до рівня 10 см налита ртуть, згори — такі самі об'єми води та гасу. Який тиск рідин на дно посудини?

1.21. У циліндричну посудину діаметром 25 см налито 12 л води. Який тиск води на стінку посудини на висоті 10 см від дна?

1.22. Посудина кубічної форми заповнена рідиною вагою Р. Знайти повну силу гідростатичного тиску на дно посудини та всі її бічні стінки.

1.23. У посудину із квадратним дном із довжиною сторони а та вер­тикальними стінками налито рідину. Яка висота рівня рідини в посу­дині, якщо сила тиску на дно дорівнює силі тиску на бічну поверхню посудини?

1.24. У прямокутну банку, площа дна якої 100 см2, налито воду. Висота рівня води 20 см. На поверхні води знаходиться поршень, що щільно прилягає до стінок. На поршень поставлено гирю масою 2 кг. Знайти тиск на дно банки. Атмосферний тиск нормальний.

1.25. У циліндричну посудину налиті однакові за масою кількості води та ртуті. Загальна маса стовпчиків рідин у посудині дорівнює Н. Чому дорівнює гідростатичний тиск на дно посудини?

1.26. У два коліна I-подібної трубки налиті вода та масло, що роз­ділені ртуттю. Поверхні поділу ртуті та рідин в обох колінах знаходя­ться на однаковій висоті. Знайдіть масу стовпчика води, якщо висота стовпчика масла дорівнює 20 см.

1.27. У сполучених посудинах налиті вода, ртуть та гас. Яка висота гасу, якщо висота стовпчика води дорівнює 20 см та у правому коліні рівень ртуті нижчий, ніж у лівому, на 0,5 см.

1.28. Ртуть знаходиться в I-подібній трубці, площа перерізу лівого коліна якої втричі менша від площі правого. Рівень ртуті у вузькому коліні знаходиться на відстані 30 см від верхнього кінця трубки. На скільки підніметься рівень ртуті у правому коліні, якщо ліве доверху заповнити водою?

1.29. У сполучених циліндричних посудинах однакових діаметрівта висоти знаходиться ртуть. В одній із посудин поверх ртуті налитий стовпчик води висотою 32 см. Як будуть розташовані один відносно ін­шого рівні ртуті в обох посудинах, якщо вони доверху заповнені гасом?

1.30. У сполучені посудини налита ртуть, зверху в одну посудину — стовпчик мастила висотою 48 см, а в іншу — стовпчик гасу висотою 20 см. Знайдіть різниці рівнів ртуті в обох посудинах.

1.31. Шматок заліза важить у воді 1,67 Н. Знайдіть його об'єм.

1.32. Мідна куля із внутрішньою порожниною важить у повітрі 2,59 Н, в у воді — 2,17 Н. Знайти об'єм внутрішньої порожнини кулі.

1.33. Тіло плаває у гасі, занурене до 2/3 свого об'єму. Знайти гу­стину речовини тіла.

1.34. Яку найменшу кількість колод довжиною 10 м та площею по­перечного перерізу 300 см2 потрібно взяти для плоту, на якому мож­на переправити через річку вантажівку масою 5 т? Густина дерева — 600 кг/м3.

1.35. Знайти масу пояса із корка, який здатний утримати людину масою 60 кг у воді таким чином, щоб голова та плечі (це приблизно 1/8 об'єму людини) не були занурені у воду. Густину тіла людини взяти 1007 кг/м3, а густину корка — 200 кг/м3.

1.36. Шматок заліза масою 11,7 г, зв'язаний із шматком корка ма­сою 1,2 г, разом занурені на нитці у воду. Знайти густину корка та його об'єм, якщо сила натягу нитки дорівнює 0,064 Н.

1.37. У циліндричну посудину з водою опустили залізну коробку, внаслідок чого рівень води в посудині піднявся на 2 см. На скільки рі­вень води опуститься, якщо коробка потоне?

1.38. Куля з алюмінію важить у повітрі 0,52 Н, у воді — 0,32 Н, а у розчині мідного купоросу — 0,29 Н. Знайдіть густину розчину мідного купоросу.

1.39. Бульбашка газу піднімається з дна озера зі сталою швидкі­стю. Знайдіть силу опору води, якщо об'єм бульбашки дорівнює 1 см3.

1.40. Кулька із густиною 400 кг/м3 падає у воду з висоти 9 см. Наяку глибину кулька зануриться у воду? Силами опору повітря та води знехтувати.

1.41. Із яким прискоренням тіло із густиною р спливає у рідині з густиною р0 ?

1.42. Повітряна куля об'ємом 600 м3 знаходиться у рівновазі. Яку кількість баласту потрібно викинути, щоб куля почала підійматися із прискоренням 0,1 м/с2? Опором повітря знехтувати. Густина повітря —

1,29 кг/м3.

1.43. Аеростат об'ємом 4000 м3 заповнений гелієм. Вага кон­струкції, обладнання та екіпажу дорівнює 30 кН. Густина повітря — 1,2 кг/м3, гелію — 0,18 кг/м3. Знайти корисну вантажопідйомність ае­ростата.

1.44. Аеростат об'ємом 2500 м3 містить перед підйомом 2000 м3 водню. Маса всього обладнання разом із командою 2750 кг. Знайдіть прискорення, з яким почне підійматися аеростат.

1.45. Кубик з довжиною ребра 10 см занурений в посудину з водою, на яку налита рідина з густиною 0,8 г/см3, що не змішується з водою. Лінія поділу рідин проходить на середині висоти кубика. Знайти масу кубика.

1.46. Знайдіть густину газу, що заповнює невагому оболонку пові­тряної кулі об'ємом 40 м3, якщо куля з вантажем масою т = 20 кг висить нерухомо. Густина повітря становить р    = 1, 5 кг/м3.

1.47. Тіло з об'ємом V = 4 лі густиною рт = 5 г/см3 повністю занурене у воду. Визначити силу Р, з якою тіло тисне на дно посудини. Густина води р = 1 г/см3.

2.   Механічні властивості біологічних тканин

Основні формули

• Відносна деформація

де І — початкова довжина зразка (м); 1\ його кінцева довжи­на (м); АІ = І1 — І — видовження зразка (м).

• Механічне напруження

о = |, (2.2)

де і — прикладена до зразка сила (Н); 5 — площа поперечного перерізу зразка (м2).

• Закон Гука для деформації розтягу (стиску)

оеі = єЕ, (2.3)

де оеі — пружна компонента механічних напружень (Па); Е — мо­дуль пружності, або модуль Юнга (Па).

• Напруження, що виникають у в'язкому середовищі (в'язкі або дисипативні напруження)

сіє /п о = П -7, (2.4)

де п — в'язкість середовища (Па-с); 7 — час процесу (с); -є/— похідна від деформації за часом, або швидкість деформуван­ня (с-1).

• Часова залежність деформації при паралельному з'єднанні пружного та в'язкого елементів (модель Кельвіна-Фойгта)

є(7) = Е (і — в"*/^ , (2.5)

де т = п/Е час релаксації деформації (с).

• Модель Максвелла для послідовно з'єднаних пружного та в'яз­кого елементів

-7 = Е Ж + (2.6)

• Механічні напруження стінки кровоносної судини

0 = рт/Н, (2.7)

де р — тиск у судині (Па); т — радіус просвіту судини (м); Н — товщина стінки судини (м).

• Закон Гука

1 = —кАІ, (2.8) де к — коефіцієнт жорсткості (Н/м); АІ — величина зміщення (м).

• Коефіцієнт жорсткості для деформації розтягу (стиску) однорід­ного стрижня

к = ЕБ/І, (2.9)

де Е — модуль Юнга (Па); Б — площа поперечного перерізу стрижня (м2); І — довжина стрижня до деформації (м).

• Потенціальна енергія пружно деформованого тіла

\¥ = 2 кІ)2. (2.10)

Приклади розв'язання задач

2.1. Знайти ефективний модуль пружності кравецького м'яза жаби, якщо при зростанні прикладеного до нього навантаження від 10 кПа до 40 кПа його довжина збільшилася від 0,032 м до 0,034 м.

и і = 10 • 103 Па, и2 = 40 • 103 Па,

11 = 0, 032 м,

12 = 0, 034 м

Ее//-?

Нехай І — довжина м'яза у стані спокою, до прикладання до нього навантаження. Тоді згідно із (2.1) для двох різних значень навантаження маємо різні значення відносних деформацій:

І1 І       І2 І

Оскільки за умовою задачі деформації малі, можна припустити, що м'яз — це абсолютно пружне тіло. Тоді виконується закон Гука (2.3):

<7і = ЄіЕе//,     0~2 = є2Ее//

Отже, з останніх чотирьох рівностей можна записати таке:

0 і     є і     Іі — І

або

(І2 — І) Оі = (Іі — І) 02, І20і — ІОі = Іі02 — І02,

І (02 — Оі) = Іі02 — І20і,

1 = Іі 02 — І20і

О2 — Оі

Далі будемо знаходити ефективний модуль пружності за законом Гука:

0і      0і І

Ее// = — =

Є1       І1 І

Компонування останніх двох формул приводить до кінцевого вира­зу для розрахунку ефективного модуля у вигляді

І102 І201

Ее// =      І-І-■

І2 І1

Після підстановки числових даних маємо таке:

0, 032 • 40 • 103 — 0, 034 • 10 • 103 Ее// =----= 470 (кПа).

2.2. Розрахувати відносне видовження скелетного м'яза за 3 хви­лини під дією сили 6,3 Н, якщо площа поперечного перерізу м'яза 0, 8 • 10-6 м2, а його в'язкість п = 1,25 г/(см-с). Припустити, що ме­ханічні властивості м'яза повністю описуються моделлю в'язкого еле­мента.

Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання

 

= 180 с,

 

= 6, 3 Н,

 

= 0, 8 • 10"6 м2,

 

= 0,125 Па

є-

 

В умові задачі в'язкість подана у несистем­них одиницях, отже, потрібно спочатку перевес­ти її значення у систему СІ. Відомо, що у цій си­стемі одиниця вимірювання в'язкості

[п] = Па с.

Тиск, що вимірюється у Паскалях (Па), — це відношення сили і (Н) до площі її прикладення 5 (м2):

р = ?•

Отже, для одиниці вимірювання тиску маємо

[Па] = 4 2

Одиницю вимірювання сили можна розписати згідно із другим за­коном Ньютона:

і = та,

де т — маса (кг); а — прискорення (м/с2). Звідси маємо

Тоді

[Па] = —2 =       2, м2     м с2

а одиниця вимірювання в'язкості

кг

ІПІ = Па с =-•

Тепер переведемо значення в'язкості у систему СІ:

П = 1, 25 -= 1, 25 102 -= 125 10"3-= 0,125 Па с

• • •

Перейдемо безпосередньо до розв'язання задачі. Оскільки ми моде­люємо м'яз в'язким елементом, використаємо формулу (2.4):

сіє 'аг.

або помножимо на сіі праву та ліву частини рівняння:

а Сі = псіє. Обчисливши напруження як (2.2):

F

а = S

перейдемо до виразу F

de = — dt.

Тепер проінтегруємо цей вираз:

є t de' = F I dt'.

nS J

0 0

В останньому виразі у межах інтегрування враховано, що у почат­ковий момент часу t = 0 деформація має нульове значення (процес деформування ще не почався). У довільний момент часу t деформація має значення e. Останній вираз після інтегрування набирає вигляду

= Ft

e = nS.

Підставимо числові значення:

6,3 • 180 10

e =---« = 1,134 • 1010.

0,125 • 0, 8 • 10-6 '

Це дуже велике і недосяжне значення деформації. Робимо висно­вок, що при моделюванні поведінки м'яза не можна використовувати лише в'язкий елемент і потрібно завжди враховувати пружні власти­вості м'яза.

2.3. Знайти абсолютне видовження сухожилля довжиною 4 мм та площею перерізу 10-6 м2 під дією сили 320 Н. Модуль пружності су­хожилля взяти 109 Па. Вважати сухожилля за абсолютно пружне тіло.

l = 4 • lO-3 м, S = lO-6 м2, F = 32O Н, E = lO9 Па

A1-?

За законом Гука (2.3)

а = єE.

Напруження визначаються як (2.2):

F

а = S.

З останніх двох формул маємо

FF S = є£7,  є = SE.

Деформація є — це відношення абсолютного видовження АІ до по­чаткової довжини сухожилля І (2.1):

АІ

є = т-

Звідси маємо        аі     р рі

Т = S~E,   АІ = 5Е-Після підстановки значень

Л ,    320 4 10-3 , ,

АІ =-«-^- = 1, 28 (мм).

10-6 ю9        '     ^ )

2.4. Знайти межу міцності кістки діаметром 30 мм та товщиною 3 мм, якщо для її руйнування потрібна сила 400 кН.

Б = 30 • 10-3 м, Н = 3 • 10-3 м, і = 400 • 103 Н

(Те-?

Кістка у поперечному перерізі — це кільце. Знайдемо спочатку площу цього кільця. Позначи­мо зовнішній радіус кільця т2, а внутрішній — т1. Тоді буде справедливий зв'язок

Б Б - 2Н

Т2 = т, Т1 = ~г--

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання