Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 20

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

• Проекція сили, що діє на диполь у неоднорідному електричному полі, на вісь Ox:

Fx = Px dEx, (11.15) dx

де px, Ex - відповідно проекції p і E на вісь Ox.

• Потенціал електричного поля, створеного диполем у деякій точці A на відстані r (r ^> l):

1   P cos а

P = l--2—, (11.16)

4пє0є r2

де а - кут між вектором р*та напрямом на точку A.

• Різниця потенціалів двох точок, які рівновіддалені від диполя -джерела поля:

Рв - PA = S1D(7/22) P cos в, (11.17) 2пє0єг2

де y - кут, під яким спостерігаються точки A і B від диполя; в -кут між вектором р та прямою AB.

Приклади розв'язання задач

ll.l. Як потрібно змінити відстань між двома однаковими точко­вими зарядами, щоб при переміщенні їх з повітря в масло з відносною діелектричною проникністю є = 2 сила їх взаємодії зменшилася у 8 разів?

qi = q2 = q, Єї = 1, Є2 = 2, Fi = 8F2

Г2/Гї-?

Сили взаємодії точкових зарядів у повітрі Ті та в маслі Т2 визначатимемо згідно з формулою (11.4):

Ті = к—2,   Т2 = к-2

або із урахуванням того, що <л = д2 =

Т і 2'     Т2 2'

Оскільки за умовою F1 = 8F2, запишемоабо після скорочення Звідси матимемо

Розрахуємо відповідне значення:

 

кд[9]

8кд[10]

 

 

 

 

1

8

 

 

 

 

 

Г2 =

г[11]

Є2

 

8єі

Є2 '

у8? = ^ = 2.

Г2 = _

гі ~ V "2

Отже, відстань між зарядами потрі6но збільшити в 2 рази.

11.2. Як зміниться сила взаємодії двох однакових маленьких ку­льок із зарядами +12 нКл і —24 нКл, якщо їх привести в зіткнення, а потім розвести на початкову відстань?

ді = 12 • 10"9 Кл, д2 = -24 • 10-9 Кл,

гі = г2 = г

Сила взаємодії зарядів до зіткнення дорів­нює (11.4):

Ті = к

Оскільки кульки однакові, після їх зіткнен­ня вони будуть мати однакові заряди д. Відповідно до закону збережен­ня заряду (11.1):

ді + д2

ді + д2 = д + д,   ді + д2 = 2д,  д =

Сила взаємодії кульок після зіткнення дорівнює (11.4):

Т2 = к

д[12] _

Комбінуючи останні два вирази, отримуємо

Т2 = к-

Знайдемо шукане відношення сил:

^2 = к(ді + д2)[13] Т1 4г[14]      ' "

4г[15]

г[16]        (ді + д2)[17]

к|ді||д2І 4і||д2|або після розрахунків

Т2 = (12 • 10-9 - 24 • 10-9)2 = 1 Ті = 4 12 10-9 • 24 • 10-9 = 8' Таким чином, сила взаємодії кульок зменшиться у 8 разів.

11.3. Біля вершин рівностороннього трикутника зі стороною 10 см розташовано заряди ді = 100 нКл, д2 = 200 нКл і д3 = 150 нКл. Ви­значити силу, що діє на третій заряд.

г = 0,1 м, ді = 10-7 Кл, д2 = 2 • 10-7 Кл, дз = 1, 5 • 10-7 Кл, к = 9 • 109 Н-мУКл2

Оскільки всі три заряди позитивні, на за­ряд д3 діють сили відштовхування з боку за­рядів ді і д2. Величини цих сил можна знайти за законом Кулона (11.4):

Ті = к

дід3

= к

д2д3

г2 2 г2

Рівнодіюча цих двох сил дорівнює Т = Ті + Т2.

Будемо шукати рівнодіючу за правилом паралелогра­ма (див. рис. 11.1). Величину Т знайдемо за теоремою косинусів:

В

"120°

Рисунок 11.1

F2 = Ff + F22 - 2FiF2 cos 120° або із урахуванням тригонометричної формули зведення

cos 120° = cos(180° - 60°) = cos(n - 60°) = - cos 60°

матимемо більш зручний вигляд теореми косинусів:

F2 = Ff + F22 + 2FiFf cos 60°.

Відмітимо, що при використані правила паралелограма для дода­вання вєкторів дуже часто застосовується саме остання інтерпретація теореми косинусів, де використовується кут між векторами, які вихо­дять з однієї точки. При цьому, як це можна легко помітити, знак "—" у третьому доданку замінюється на "+".

Отримаємо вираз для знаходження значення шуканої сили

F = V Ff + F22 + 2FiF2 cos 60° = W F2 + F22 + FiF2

+ kq lq3 kq2q3

kq3 q2 + q22 + q q2.

Розрахуємо це значення: 9-Ю94, 5-Ю-7 ,

F=

0, 12

10-1 4+440-1 4+240-1 4=3, 5740-2

11.4. З яким прискоренням падатиме заряджена кулька масою 1 г, якщо вона має заряд 10-6 Кл? Напружешсть поля Зємлі дорівнює 130 В/м і спрямована до її поверхні.

m = 10 3 кг, q = 10-6 Кл, E = 130 B/м, g = 9, 8 м/с2

На рис. 11.2 показано сили, що діють на кульку. Це сила тяжіння (1.8)

а також сила електричного поля Землі (11.5):

Ре =

7~7

0 1

Рт = ті

■7-7

■7-7-7-7-7-7-7

7~7

Рисунок 11.2

Оскільки за умовою кулька рухається із прискоренням, запишемо

другий закон Ньютона:       ^ ^

Тт + Те = та.

Лінії напруженості Е спрямовані до Землі, що свідчить про те, що Земля має негативний заряд. Тому сила, що діє на позитивний заряд д, також спрямована до Землі. Отже, у проекціях на вісь х останнє рівняння набирає вигляду

тд + дЕ = та, звідки легко отримати формулу для знаходження прискорення:

дЕ

а = д +

т

Отже, якщо кулька була б незарядженою (д = 0), вона б рухалася із прискоренням вільного падшня д. Наявшсть заряду зумовлює до­даткове прискорення дЕ/т. Розрахуємо шукане значення:

т 10 3

11.5. Заряди ді = 2д і д2 = д знаходяться на відстані Т\ =0,1 м один від одного в порожнині. На якій відстані від заряду д2 на лінії центрів напруженість поля дорівнює нулю?ж—?

ді На рис. 11.3 колами показано заряди, ліворуч роз-

д2 ^' ташований позитивний заряд ді, праворуч — негатив-т\ =0,1 м,      „     0 .Л        „ .„

1 ний д2. За умовою потрібно знайти точку, в якій напру-

є = 1

женість Е буде дорівнювати нулю. Згідно із принципом суперпозиції полів (11.11) загальна результуюча напру­женість — це векторна сума напруженостей, які створюються кожним

із зарядів окремо: Е    Е Е

Е = Е і + Е2.

Е Е2

4

В

42

с

А

Е2 Ех

Рисунок 11.3

Розглянемо можливі ситуації. У будь-якій точці ліворуч від обох зарядів (точка А) напруженість не може дорівнювати нулю, оскільки хоча в цьому випадку Е- і і Е- 2 спрямовані у протилежних напрямах, згідно із формулою (11.6) за абсолютним значенням Е1 буде завжди більше ніж Е2, тому що величина заряду д1 більше ніж д2 і точка А знаходиться ближче до д1. У точці В, яка знаходиться між зарядами, напруженості спрямовані в один бік, і їх векторна сума також не мо­же дорівнювати нулю. У точці С вектори Е1 і Е2 спрямовані у про­тилежних напрямах і можуть бути однакові за абсолютним значенням. Отже, будемо шукати розв'язок задачі у точці С.

Нехай х — відстань від заряду д2 до точки С, в якій напруженість дорівнює нулю. Це означає, що |Еа| = |Е2| або Е1 = Е2. Визначимо ці напруженості згідно із рисунком та формулою (11.6):

Еі = к-

9і

Е2 = к

92

є(г + х)2' єх2'

Підставимо в останні формули абсолютні значення зарядів (їх зна­ки вже враховано) та прирівняємо їх:

к 29

9

2

1

є(г + ж)2      єж2'    (г + ж)2 ж2: 2ж2 = (г + ж)2,

X

2х2 = г2 + 2гх + х2,   х2 2тх т2 = 0. Це звичайне квадратне рівняння, яке має два розв'язки:

хі,2 = (1 ± \/2)т.

Після підстановки значень

хі = (1 + \/2) 0,1 = 0,24 (м),

х2 = (1 л/2) 0,1 = —0, 0414 (м). Корінь х2 фізичного змісту не має, оскільки при такому значенні х точка С буде знаходитися між зарядами, а як показано вище, у тако­му випадку напруженість не може дорівнювати нулю. Отже, х2 зайвий корінь, і кінцева відповідь задачі х = 0,24 (м).

11.6. Електрон влітає в однорідне поле плоского конденсатора у напрямі ліній напруженості й на ділянці шляху 2 см зменшує свою швидкість від значення 2 106 м/с до нуля. Визначити напруженість поля в конденсаторі.

Електрон змінює свою швидкість за раху­нок того, що над ним здійснюється робота сил електричного поля. Ця робота чисельно дорів­нює зміні кінетичної енергії електрона:

x =

= 2 •

І0-2 м,

 

Vl

=2

І06 м/с,

 

V2

= 0,

 

 

m

= 9,

ІІ • І0-3

кг,

e =

, б • І0-19

Кл

E-

?

 

 

A=

mv22

mv2

2 2

Оскільки електрон здійснює рух в однорід­ному полі плоского конденсатора, на нього діє стала сила F. В цьому випадку робота поля може бути визначена за формулою (11.8):

A = eEx cos а,

де кут а між векторами E та x дорівнюватиме 0°, оскільки рух електро­на відбувається уздовж ліній напруженості. Із урахуванням значення cos 0° = 1 отримуємо

A = eEx.

Тепер прирівнюємо зміну кінетичної енергії до останнього виразу:

,2

mv22

mv

= eEx.

За умовою задачi у2 = 0, тому можна записати

ту

1 = еЕх,   Е =

Обчислимо це значення:

9,11 • 10"31

Е =

(2 • 10'

6\2

2 • (-1, 6 • 10"19) • 2 • 10"

2ех

= 569,4

11.7. На відстані 0,9 м від поверхні сфери із радiусом 10 см, що має позитивний заряд з поверхневою густиною 3 • 10"5 Кл/м2, знахо­диться точковий заряд +7 нКл. Визначити роботу, яку необхідно здій­снити, щоб перенести заряд у точку, що розташована на відстані 50 см від центра сфери. Система знаходиться в повітрі.

На рис. 11.4 зображено сферу із радіусом К. За умовою задачі потрібно знайти роботу, яку необхідно здійснити для перенесення за­ряду 9 із точки 1 у точку 2. Цю роботу можна знайти, використовуючи формулу (11.8):

А = 9(рї - р2),

де р1 і р2 — потенціали точок 1 і 2 відповідно.

Гї

= 0, 9 м

 

 

К

= 0, 1 м,

 

 

а

= 3•10"

5 Кл/м2,

 

9 =

= 7 • 10"

9 Кл,

 

Г2

= 0, 5 м

 

 

Є =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання