Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 22

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

А

Р

Рисунок 11.5

11.61. Диполь з електричним моментом р = 1 пКл-м рівномірно обертається із частотою V = 103 c_1 відносно осі, що проходить через центр диполя і перпендикулярна до його плеча. Вивести закон зміни потенціалу як функцію часу в деякій точці, що віддалена від центра ди­поля на г = 1 см і лежить у площині обертання диполя. Прийняти, що в початковий момент часу потенціал р0, для точки, що розглядається, дорівнює нулю. Побудувати графік залежності

11.62. Диполь з електричним моментом р = 20 пКл-м знаходиться в неоднорідному електричному полі. Ступінь неоднорідності поля ха­рактеризується величиною ёЕ/ёж = 1 МВ/м2, взятою у напрямі осі диполя. Обчислити силу і, що діє на диполь в цьому напрямі.

11.63. Визначити електричний момент р диполя, якщо його створе­но зарядами О = 10 нКл, які розташовані на відстані 1 = 0, 5 см один від одного.

11.64. Визначити напруженість поля, що створює диполь з елект­ричним моментом р = 1 нКл-м на відстані г = 25 см від центра диполя в напряму, перпендикулярному до осі диполя.

11.65. Поле утворене точковим диполем з електричним моментом р = 100 пКл-м. Визначити різницю потенціалів и двох точок по­ля, розташованих симетрично відносно диполя на його осі на відстані г = 10 см від центра диполя.

12.   Електроємність. Конденсатори

Основні формули

Ємність відокремленого провідника

С = д, (12.1)

де д заряд провідника (Кл); р його потенціал (В).

Ємність сферичного провідника

С = 4пєоєК, (12.2)

де єо = 8,85 • 10-12 Ф/м унiверcальна електрична стала; є відносна дiелектрична проникність середовища; К радіус сфе­ри (м).

Ємність конденсатора

С = Цг, (12.3)

де д значення заряду на кожній з обкладок конденсатора (Кл); и напруга (або різниця потенціалів) між обкладками (В).

Ємність плоского конденсатора

С = ЄоЄ^, (12.4)

де й відстань між пластинами (м); 5 площа кожної пласти­ни (м2).

Ємність плоского конденсатора, який заповнений п шарами діе­лектрика із товщиною йі та діелектричною проникністю Єі кож­ний:

С =_єо5_=     єо>~> (125)

йіі + С?22 + ... + йпп      Е"=1 йіі ' "

Ємність циліндричного конденсатора

де Ь висота циліндрів (м); Е2 радіус зовнішнього цилінд­ра (м); К\ радіус внутрішнього циліндра (м).

Ємність сферичного конденсатора

с=іпє°єіі-к- (12.7)

де Е2 радіус зовнішньої сфери (м); Ег радіус внутрішньої сфери (м).

Енергія електричного поля між обкладками зарядженого кон­денсатора

- = ^ = ^ ==£ ■ (12.8)

Об'ємна густина енергії електричного поля

^ел = , (12.9)

де Е напруженість електричного поля (В/м). Сила притягання між обкладками конденсатора

Г = (12-10)

де розраховується за формулою (12.8); х координата (м). Для плоского конденсатора (12.4) х = й, для циліндрично­го (12.6) і сферичного (12.7) х = Е2.

Батарея із паралельно з'єднаних конденсаторів

п

С = С + С2 + + Сп = У] Сі, (12.11) и = иг = 1)2 =    = Ей, (12.12)

п

Я = Яі + (12 +    + Яп = ]У2 Яі, (12.13)

і=1де і порядковий номер конденсатора; Сі ємність і-го кон­денсатора; и і напруга на і-му конденсаторі; ді заряд на і-му конденсаторі; п загальна кількість конденсаторів.

Батарея із послідовно з'єднаних конденсаторів

£ = С+С+-+к=Ё & (12.141

і=1

и = их + и2 + ... + ип =     иі> (12-15)

г=1

9 = 91 = 92 = ... = 9п. (12.16)

Приклади розв'язання задач

12.1. Є п = 1000 однакових крапель ртуті із ємністю С = 1 пФ кожна. Визначити ємність великої кульової краплі, яка отримана при злитті всіх цих крапель.

п = 1000, С = 10"12 Ф

Позначимо радіус маленької крапельки г, а радіус великої, отриманої при злитті всіх крапельок, Я. Тоді згідно із формулою (12.2):

С = 4пє0єг,   С = 4пє0єЯ.

Знайдемо відношення цих ємностей:

С = 4тгеоеЯ     С = Я

С     4пє0£т '    С     г' звідки легко виразити ємність С':

С' = СЯ. г

Отже, для знаходження С потрібно дізнатися, як співвідносяться радіуси крапель. Використаємо відому формулу для визначення об'єму

кулі: 4   3       ,4 3

V = з пг3,   Vі = з пЯ3.

Оскільки велика куля — це злиття маленьких, з іншого боку,

= пК.

Підставимо в останнє співвідношення V і V' та отримаємо

4  „з      4   з     „з       з     Я3 # зг-

-7гГГ = п-тгт3,   Я3 = пг3,        = п,   — = \/П.

3 3 г3 г

Підставляючи отримане відношення у формулу для знаходження ємності Є', отримуємо

с1 =    = с ут.

г

Визначимо числове значення ємності:

С = С= 10-12 • л/Ї000 = 10"11 (Ф).

Таким чином, злиття 1000 маленьких крапельок підвищує ємність результуючої великої краплі по відношенню до ємності маленької по­чаткової крапельки лише у 10 разів.

12.2. На пластину плоского конденсатора, відстань між пластина­ми якого й = 3 см, подано напругу и = 1 кВ. Простір між пластинами заповнений кров'ю = 85). Знайти поверхневу густину зв'язаних за­рядів.

й = 0,03 м, и = 1000 В,

є = 85,

єо = 8, 85 • 10-12 Ф/м

формулою (12.3):

Поверхнева густина зарядів визначає­ться за формулою (11.3):

9

а = ^

де 9 — заряд на пластині конденсатора; 5 — площа пластини. Заряд 9 можна знайти за

9

с=

и

9 = Си.

Ємність конденсатора будемо визначати згідно із співвідношенням (12.4):

с=

є0єБ

Підставимо останню формулу у попередню для знаходження заря-

ду пластини:

9 = Си =

й .

Тепер можна знайти поверхневу густину а:

9     є0єБи    є0 єи а = 5 =   Бй   =   й ,або після розрахунку

а=

єоєи     8, 85 • 10"12 • 85 • 1000

й

0, 03 = 2, 508 • 10"

Кл 2

12.3. Відстань між пластинами повітряного конденсатора із пло­щею Б = 50 см2 дорівнює й = 3 см. Конденсатор був заряджений до напруги и = 200 В та від'єднаний від джерела струму. Знайти роботу, яку потрібно здійснити для розсування пластин на відстань й2 = 10 см.

Оскільки конденсатор від'єднали від джерела струму, заряд О на його обклад­ках не зміниться. Але при розсуванні пла­стин буде змінюватися ємність С, а відповід­но і напруга и на пластинах. Заряд можна визначити за формулою (12.3):

Б

= 5 • 10"3 м2,

й1

= 0, 03 м,

й2

= 0,1 м,

и

= 200 В,

є =

= 1,

єо

= 8, 85 • 10"12 Ф/м

л-

-?

О = С1и,

де ємність С визначається згідно із (12.4):

єоєБ

С=

й

Енергія поля конденсатора визначається за формулою (12.8):

О2

И =

2С

або після врахування виразу для ємності

О2 О2й

И =

2Є 2єоє£

Визначимо зміну цієї енергії при розсуванні пластин:

д2 № - с

О2й2

О2й1

Ця зміна чисельно буде рівна механічній роботі А, яку потрібно здійснити для розсування пластин, тобто

д2 № - йі)

л=

2єоєБ

Але нам невідомий заряд знайдемо його за першою формулою, що використана в цій задачі:

ф = аи =

Оі

Підставимо цей заряд у формулу для визначення роботи:

=     2єоє5     =     01      оє5 = 202 .

Розрахуємо це значення:

8, 85 10-12 1 5 10-3 2002 (0,1-0, 03) А =-2 ^ 0 032-= 68, 8 (нДж).

12.4. Конденсатор, заряджений до напруги 100 В, з'єднують із кон­денсатором із такою самою ємністю, але зарядженим до напруги 200 В: один раз однойменно зарядженими обкладками, а інший — різнойменно зарядженими обкладками. Яка напруга встановиться між обкладками в обох випадках?

Спочатку знайдемо заряди на обкладках конден­саторів до з'єднання (12.3):

9і = Сиі,   92 = .

Розглянемо перший випадок. При з'єднанні однойменних обкладок загальний заряд батареї дорівнює сумі зарядів на обкладках до з'єднання (12.13):

9; = 9і + 92 = сиі + № = Сі + и2).

Напруга на батареї після з'єднання (12.3):

и' = І-.

С'

Оскільки конденсатори з'єднуються паралельно (12.11):

С' = Сі + С2 = 2С. Підставляємо у вираз для знаходження и' знайдену напругу та єм­ність: , = І_ = Сі + и2) = иі + и2

С 2С 2 .

иі

= 100 В,

 

= 200 В,

Сі

= С2 = С

и

и"—?

Тепер переходимо до розгляду другого випадку. При з'єднанні різ­нойменних обкладок загальний заряд відповідно до (12.13) можна ви­значити як

9" = 92 - 91 =       - СС = С([/2 - иі), де я2 > Яь оскільки и2 > и1. Далі розв'язок аналогічний першому

випадку:

С" 2С Розрахуємо відповідні значення:

и' = и" =

иі + и2 = 100 + 200

2    = 2

и2 - иі

= 150 (В),

200 100

= 50 ( )

22

12.5. Плоский повітряний конденсатор із площею кожної з пластин 5 = 1 м2 заряджений та відключений від джерела струму. Після за­ряджання на кожній пластині зосереджений заряд д = 3 • 10"6 Кл. Визначити силу притягання між пластинами конденсатора.

Сила взаємодії між пластинами визнача­ється за формулою (12.10):

р = дШ

5

= 1 м2,

 

9 =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання