Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

Відповідно площа кістки буде визначатися як різниця між площами зовнішнього та внутрішнього кілець:

5 = 7ГГ2. - Тіг\ = П {т\ - ТІ) = П (Г2 - Ті) 2 + Гі).

Або після підстановки виразів для т1, т2

/ Б    Б - 2Н \( Б    Б - 2Н \       ?_ ?, 5 = п\—---—     — +---—   = пЬ(Б - Ь).

2      2       2 2

За умовою задачі потрібно знайти межу міцності, тобто механічні напруження ас, за яких кістка руйнується. Ці напруження згідно з (2.2) дорівнюють р р

°с = 5 = пЬ(Б - Ь),

або після розрахунку

400 • 103 ____ 9

1, 572 • 10у (Па).

с    3,14159 • 3 • 10-3(30 • 10-3 - 3 • 10-3)

2.5. Навантаження на стегнову кістку, що становить 1800 Н, при стисканні викликає відносну деформацію 3 • 10-4. Знайти ефективну площупоперечногоперерізукістки, якщоїїмодульпружностідорівнює

23 109 Па.і = 1800 Н, є = 3 • 10-4, Е = 23 • 109 Па

5,

е//"

При стисканні у кістці виникають пружні на­пруження (2.2):

і

а

//

які визначаються законом Гука (2.3):

а = єЕ.

Із цих виразів маємо

іі

-= єЕ,   Бе// =

Визначимо цю площу: Ь 1800

3 • 10-4 • 23 • 109 2, 61 • 10-4 (м2) = 2, 61 (см2).

а =

3 • 109

Па,

Е =

22, 5 •

109 Па

ш =

Ш/У -

 

2.6. Знайти потенціальну енергію, що припадає на одиницю об'єму кістки, якщо кістка розтягнута так, що напруження в ній становлять 3 • 109 Па. Модуль пружності кістки взяти 22, 5 • 109 Па.

Фактично в задачі потрібно знайти об'ємну густину енергії деформованої кістки ш, тобто від­ношення потенціальної енергії пружно деформо­ваного тіла Ш до об'єму цього тіла У:

ш = У.

Потенціальна енергія визначається за формулою (2.10):

ш = 2 к(ді)2,

та із урахуванням виразу для коефіцієнта жорсткості (2.9)

ЕЬ

к =

1

набирає вигляду

Ш =

Е-(Д1)2 21

Отже, із цього виразу знайдемо шукану густину енергії якш   ш   еб (дг)2   е( ді\

V     БІ       2Б12        2 \ І )

Останній вираз із урахуванням визначення відносної деформації (2.1)

дІ

є = т

спрощується до вигляду

Еє2

2

Виразимо деформацію через напруження згідно із законом Гука

а = єЕ,   є = е,

підставимо у вираз для густини енергії ш та отримаємо кінцеве співвід­ношення 2

а2

ш = 2Е-

Залишилося розрахувати числове значення цієї величини: ш =   (3 • 109)2   =2 Ю8 ГДЖ

Задачі для самостійного розв'язування

2.7. Розрахуйте відносне видовження скелетного м'яза, що моде­люється тілом Кельвіна-Фойгта, за 3 хвилини, якщо модуль пружності м'яза 1,2 МПа, площа поперечного перерізу 0,8 • 10_6 м2, а наванта­ження на м'яз 6,3 Н. В'язкість речовини м'яза взяти 1,25 г/(см-с).

2.8. Як зміниться модуль пружності стегнової кістки людини, якщо при навантаженні 5 Па відносна деформація становить 0,025, а при збільшенні навантаження до 11 Па вона стала дорівнювати 0,055.

2.9. Знайти тиск у стінці капіляра діаметром 20 мкм, якщо товщина стінки судини 2 мкм, а тангенціальні напруження в стінці 8 • 10-5 Па.

2.10. Чому дорівнює ефективний модуль пружності стінки грудної аорти, якщо відношення радіуса просвіту судини до товщини її стінки дорівнює 5. Відомо, що при зміні тиску всередині аорти від 13,3 кПа до 16 кПа площа поперечного перерізу судини збільшується від 6,16 см2 до 6,2 см2.

2.11. Модуль пружності протоплазмових ниток, що отримані ви­тягуванням протоплазми у деяких типів клітин з допомогою мікрого-лок, став дорівнювати 9 • 103 Па при кімнатній температурі. Знайти на­пруження, що виникають у нитках при розтягу, що не перевищує 20% їх початкової довжини. Вважати, що нитки володіють лише пружними властивостями.

2.12. Яка робота здійснюється при розтягу на 6 мм кравецького м'яза жаби довжиною 30 мм, якщо відомо, що при навантаженні 1 г він розтягується на 3 мм? Прийняти кравецький м'яз за абсолютно пруж­не тіло.

2.13. Знайти механічне напруження стегнової кістки штангіста ва­гою 80 кг при піднятті штанги, що у півтора рази перевищує його вагу, якщо діаметр кістки 20 мм. Допустиме напруження 108 Н/м2. Яку гра­ничну вагу може витримати кістка?

2.14. Межа міцності кісткової тканини дорівнює 100 МПа, модуль Юнга дорівнює 10 ГПа. Знайти, при якому відносному видовженні від­будеться руйнування кісткової тканини.

2.15. Модуль пружності колагену 100 МПа, модуль пружності ела­стину 1 МПа, відносне видовження для обох матеріалів становить 0,5. Знайти напруження, що виникають у цих матеріалах при заданій де­формації.

2.16. У скільки разів відносне видовження еластину більше, ніж колагену, при однакових напруженнях, якщо модуль пружності кола­гену 100 МПа, а еластину 1 МПа?

2.17. Знайти абсолютне видовження сухожилля довжиною 5 см та діаметром 4 мм під дією сили 31,4 Н. Модуль пружності сухожилля дорівнює 109 Па.

2.18. Визначити роботу, що виконується спортсменом при розтя­гу пружини еспандера на 70 см, якщо відомо, що при дії сили у 10 Н еспандер розтягується на 1 см.

2.19. М'яз завдовжки 10 см і діаметром 1 см під дією вантажу 49 Н видовжився на 7 мм. Визначити модуль пружності м'язової тканини.

2.20. До сухожилля завдовжки 12 см підвісили вантаж масою 7 кг, унаслідок чого воно видовжилося до 123 мм. На скільки видовжиться сухожилля, якщо до нього підвісити вантаж масою 5 кг?

2.21. Яка робота здійснюється при розтягу на 1 мм м'яза завдовж­ки 5 см і діаметром 4 мм? Модуль Юнга для м'язової тканини взяти

9, 8 • 106 Па.

2.22. Проаналізувати рівняння Максвелла (2.6) у двох випадках: а) у системі підтримуються постійні деформації, побудувати часову за­лежність напружень а (і); б) незмінними є напруження, побудувати ча­сову залежність деформації є (і).

2.23. З якою силою необхідно тягнути за кінець дроту, другий кі­нець якого закріплений, щоб видовжити його на 5 мм? Жорсткість дро­ту к = 2 • 106 Н/м.

2.24. Визначити жорсткість пружини, якщо під дією сили 80 Н вона видовжилася на 5 см.

2.25. Якого перерізу сталевий дріт довжиною 3,6 м необхідно взяти, щоб під дією сили 8 • 103 Н він видовжився на 4 мм? Модуль Юнга для сталі становить 2 • 1011 Н/м2.

3.   В'язкість     рідин.     Поверхневий натяг. Гемодинаміка

Основні формули

• Сила внутрішнього тертя, що діє між шарами, що мають площу 5 (рівняння Ньютона):

ІУ

Ртр = п dXБ, (3.Г

де п в'язкість рідини (Па^с); іу/іх градієнт швидкості (с :). Гідравлічний опір судини

де п в'язкість крові (Па^с); І довжина судини (м); К радіус судини (м).

Об'ємна швидкість кровотоку в судині

^ = Бу, (3.3)

де Б — площа поперечного перерізу судини (м2); у швидкість течії рідини (м/с).

Об'єм рідини, що переноситься через трубу (судину) за час і:

< = Буі. (3.4)

Об'єм рідини, що переноситься за 1 с через переріз циліндричної труби (судини) радіусом К (формула Пуазейля):

<= ^пг ^—І— (3.5)

де І довжина ділянки труби (судини) (м), на кінцях якої підтри­мується різниця тисків і - Р2) (Па)

Об'єм рідини, що переноситься за 1 с через переріз циліндричної труби (судини) змінного перерізу (Я є функцією довжини /):

Я =        --тт (3.6) 8ц а/

Сила внутрішнього тертя, що діє на сферичне тіло радіуса г, яке рухається в рідині (закон Стокса):

і71 = 6ттг]гу, (3.7)

де V — швидкість тіла (м/с); ц — в'язкість рідини (Па-с).

Швидкість падіння кульки радіуса г у в'язкій рідині

V = 2(р - рруз, (з

де р та рр густини матеріалу, з якого зроблено кульку, та рідини відповідно (кг/м3); д — прискорення вільного падіння (м/с2).

Число Рейнольдса для труби діаметром Б

Ке = ^ = (3.9)

ц V

де V — швидкість руху рідини (м/с2); V = ц/рр кінематична в'язкість (м2/с). При Ие < Иекр спостерігається ламінарний рух, а якщо Ие > Ііекр, рух стає турбулентним. Для гладких цилін­дричних труб Ііекр ~ 2300.

Додатковий тиск під сферичною поверхнею рідини

Ар = , (3.10)

г

де а — поверхневий натяг рідини (Н/м); г — радіус сферичної по­верхні (м).

Додатковий тиск під двома аксіальними сферами, розділеними тонкою плівкою рідини (наприклад, додатковий тиск у мильній бульбашці):

Ар = —. (3.11)

r

Додаткова енергія поверхневого шару рідини

E = aS, (3.12) де Sплоща поверхні рідини (м2).

Висота підняття (опускання) рідини в капілярі

2а cos в

h = -, (3.13)

RpPg

де в — крайовий кут; Rрадіус капіляра (м); pp густина ріди­ни (кг/м3).

Швидкість пульсової хвилі

де Eмодуль пружності судини (Па); hтовщина стінки суди­ни (м); pгустина речовини судини (кг/м3); rрадіус просвіту судини (м).

Робота, що виконується лівим шлуночком серця при кожному скороченні:

A = V0[p + pV^ , (3.15)

де р — середній тиск, під яким кров викидається в аорту (Па); pгустина крові (кг/м3); V0 ударний об'єм крові (м3); v швид­кість її руху (м/с).

Еквівалентний гідравлічний опір n послідовно з'єднаних елемен­тів

X = Хі + Х2 + Х3 + ... + Xn, (3.16)

де Xj опір i-го елемента.

• Еквівалентний гідравлічний опір п паралельно з'єднаних еле­ментів ^

X =(—+—+—+ ... + —)    , (3.17)

і      Х2      Хз Хп)

де Хі опір і-го елемента. Приклади розв'язування задач

3.1. Визначити середню лінійну швидкість кровотоку в судині ра­діусом 1, 5 см, якщо під час систоли через неї протікає 60 мл крові. Вважати тривалість систоли 0,25 с.

Я = 1, 5 • 10-2 м,

Я = 60 • іо-6 м3,

і = 0, 25 с

V-

Об'єм крові, що протікає через судину за час і, визначається співвідношенням (3.4):

де 5 = пЯ2 ліндричної судини. Звідси маємо

д = Svі, площа поперечного перерізу ци-

звідки легко знайти швидкість:

V п

Я2і

Підставляємо значення:

60 • 10-6

V =-2-= 0, 34

3,14159 • (1, 5 • 10-2)2 • 0, 25

3.2. Знайдіть кінетичну енергію об'єму крові, що протікає за одну хвилину зі швидкістю 0,4 м/с через артерію діаметром 3 мм.

Із механіки відомо, що кінетична енергія визна­чається за формулою

.,2

і =

60 с,

V =

0, 4 м/с,

В =

= 3•10-3 м,

Р =

1150 кг/м3

Ек

 

Ек =

mv

де т — маса. Об'єм крові    що пройшов по артерії за час і, визначається згідно з формулою (3.4):де 5 площа перерізу судини, яку легко визначити, якщо судина має циліндричну форму:

5 = п(0, 5£>)2. З останніх двох формул маємо

ф = п(0, 5£>)^і.

Загальну масу крові можна визначити як добуток її густини р та об'єму ф:

т = рф = рп(0, 5£>)^і. Звідси кінетична енергія

пр(0, 5Д)^3і ЕК = -~-.

Підставляємо значення й отримуємо відповідь

3,14159 • 1150 • (0, 5 • 3 • 10-3)2 • 0, 43 • 60 ЕК = -~-

0, 0156 ( ).

3.3. У скільки разів зміниться модуль пружності стінки аорти при атеросклерозі, якщо відомо, що швидкість пульсової хвилі при цьому зросла втричі?

■У2 = 3^1

Е21—? Звідси маємо

Швидкість пульсової хвилі визначається за форму­лою (3.14): _

ІЕН V = і -.

V2 =

V2

V2

2рг Еій 2

= -,    V2 =

2рг ' 2

Е2 Е2 Е1 Е1

Е2 й _

VI

За умовою v2 = 3v1, отже,

Е2

3v1

VI

= 32 = 9.

3.4. Знайдіть потужність, що розвивається серцем людини при скороченні тривалістю 0, 3 с. Ударний об'єм крові дорівнює 60 мл, швидкість крові в аорті — 0, 5 м/с. Середній тиск, при якому кров вики­дається в аорту лівим шлуночком, дорівнює 13,3 кПа. Врахувати, що робота правого шлуночка становить 20% роботи лівого.

г =

0, 3 с,

 

= 60 • 10"6 м3,

V =

0, 5 м/с,

р =

13, 3 • 103 Па,

Ар

= 0,2Аг,

р =

1150 кг/м3

N -

?

Робота лівого шлуночка при скороченні

(3.15)

При підстановці значень

Аг = V,  р + р

А7 = 60 • 10"

13, 3 • 103+1150

0, 52

= 0, 8(Дж).

Загальна робота серця при одному скороченні визначається як су­ма внесків від обох шлуночків:

А = Аі + Ар = Аі + 0,2Аі = 1, 2Аі = 1,2 • 0,8 = 0, 96 (Дж). Середня потужність визначиться як

N = - =

А    0,96

0, 3 = 3, 2 (Вт).

3.5. Швидкість пульсової хвилі в артеріях дорівнює 8 м/с. Чомудо-рівнює модуль пружності цих судин, якщо відомо, що відношення раді­уса просвіту до товщини стінки судини дорівнює 6, а густина речовини судини становить 1,15 г/см3.

V = 8 м/с, г/Л = 6, р = 1150 к г/м3

N-?

З виразу для знаходження величини швидкості пульсової хвилі (3.14) знайдемо модуль пружності:

Е =

2рпг

Е/г      2 Ж

V = 4/ -,     V = -

у 2рг 2рг Підставляючи значення, отримуємо

Е = 2 • 1150 • 6 • 82 = 8, 83 • 105 (Па).

3.6. Знайдіть еквівалентний гідравлічний опір системи судин, що зображена на рисунку, якщо жі = X, ж2 = X, ж3 = 2Х, х4 = Х/2, ж5 = X, Жб = Х/3.

x,

хс

Жі =

Ж2 = X,

Ж3 =

2Х,

Ж4 =

Х/2,

Ж5 =

X,

Ж6 =

Х/3

Хзаг

-?

Судина складається з трьох частин: дві розгалу­жені (ж1,ж2 та ж4,ж5,ж6 ), одна суцільна (ж3). Ці ча­стини з'єднані послідовно, тому їх опори додаються

(3.16):

Знайдемо опір першої ділянки (паралельне з'єд­нання двох трубок з опорами ж1 та ж2):

Хі =|- + ­1 1

X + X

X

~2~'

Опір другої ділянки визначається умовою задачі

X2 = Ж3 = 2Х

Знайдемо опір останньої ділянки (паралельне з'єднання трьох тру­бок з опорами Ж4, Ж5, Ж6):

*3=( - + - + -

Ж4   Ж5 Ж6

2     1 3

X + X + X

Тепер знайдемо загальний опір:

X X

^^аг = XI + X2 + Xз = — + 2X + — = 2X +

26 2X

X "б"'

2, 6Х

3.7. Знайдіть швидкість та час повного осідання сферичних части­нок радіусом г = 2 мкм у шарі води товщиною 1 = 3 см при дії сили тяжіння, якщо густина частинок р = 2, 5 г/см3.

Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання

г =

2•10-6 м,

1 =

0, 03 м,

Р =

2500 кг/м3,

Рв =

= 1000 кг/м3,

цв =

= 1,005 • 10-3 Па-с,

9 =

9,8 м/с2

V, і-

-?

Швидкість осідання знайдемо за фор­мулою (3.8):

= 2(р - рР)г2# = 9ц

= 2(2500 - 1000)(2 • 10~6)2 • 9, 8 = = 9•1,005•10-3 =

= 1, 3 • 10-5 (м/с). Час повного осідання — це час, за який всі частинки досягнуть дна посудини із водою. Отже, він дорівнює часу осідання верхніх частинок та знаходиться як відношення висоти шару води до знайденої швидко­сті руху: і        0 03

1, 3 • 10-5

3.8. Визначте максимальну кількість крові, яка може пройти крізь аорту за 1 с, щоб течія зберігалася ламінарною. Діаметр аорти Б = 2 см, в'язкість крові ц = 5 мПа-с.

і = 1 с, Б = 0, 02 м, ц = 5 • 10-3 Па-с, рк = 1060 кг/м3, ГГекр = 2300

т-

Масу крові визначимо як добуток її об'єму Я та густини:

т = фрк.

У свою чергу, об'єм знайдемо за формулою (3.4):

отже, із урахуванням площі перерізу аорти 5 = пБ2/4 знайдемо фор­мулу для маси крові, що проходить крізь аорту за час і:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання