Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

т = ^ = р,,,,^ і.

Число Рейнольдса обчислюється за формулою (3.9):

Ге=

ц

Виразимо звідси критичну швидкість, при якій ламінарна течія пе­реходить у турбулентну: Ке ^ ц

V =-РГ".

Підставляючи отриманий вираз у формулу для визначення маси, отримуємо

тгІЖеКрці   3,14159 • 0, 02 • 2300 • 5 • 10-3 • 1

т

0,18 (кг).

3.9. Який діаметр має перетяжка при відриві краплі дистильованої води масою т = 50 мг?

т = 5 10 5 а = 72, 6 • 10 д = 9, 8 м/с2

Н/м,

де у нашому випадку і ну контура перетяжки:

Коефіцієнт поверхневого натягу можна визначити як силу, що діє на одиницю довжи­ни контура, що обмежує поверхню:

а = Г

= тд — сила тяжіння. Звідси знайдемо довжи-

1    і тд аа

5 Ю-59, 8 ) -д- = 6, 75 (мм).

72,6 • 10

Тепер можна знайти діаметр Б перетяжки:

/       6 75 ' п     3,14159      '      1 ;

3.10. У скільки разів густина повітря в бульбашці, що знаходиться на глибині Н = 5 м під водою, більше густини повітря при нормальному атмосферному тиску? Радіус бульбашки г = 0, 5 мкм.

Н = 5 м, Рі = 105 Па, г = 0, 5 • 10-6 м, ^ = 1000 кг/м3, а = 0, 073 Н/м, д = 9, 8 м/с2

Оскільки бульбашка одна і та сама, в обох випадках повітря в ній матиме однакові маси, але різні тиски Р та об'єми V. Густину повітря будемо визначати як відношення його маси до об'єму:

тт рі = ту,    р2 =

Р2і-?

реній бульбашці. Звідси маємо

де індекс 1 відповідає повітрю при нормальному атмосферному тиску, а індекс 2 — повітрю у зану-

Р2

Рі

У2 .

Нехай температура в обох випадках однакова, тому виконується закон Бойля-Маріотта, відомий у термодинаміці:

VI = Р2 V2    Рі. З останніх двох формул маємо

Р2 = р2 Рі = Рі .

Тиск усередині бульбашки, що знаходиться підводою, знайдемо за формулою 2СТ

Р2 = Рі + РвдН +—,

г

де Рі — атмосферний тиск; рвдН — гідростатичний тиск, а останній до­данок пов'язаний із силою поверхневого натягу (див. формулу (3.10)). З останніх двох формул маємо кінцеве співвідношення

Р2 = 1 + РвдН +

Рі =   +  Рі  + гРі. Після підстановки числових значень отримуємо

Р2    _     1000 • 9,8 • 5        2 • 0,073 „ іл

= 1+--і--1--—а-к = 4,41.

Рі 105 0,5 • 10"6 • 105

Отже, тиск усередині бульбашки у 4,41 раза більший, ніж нор­мальний атмосферний тиск.

3.11. У яких судинах системи кровообігу (великих чи малих) існує більша ймовірність переходу ламінарної течії крові в турбулентну?

Нехай Бі і Б2 — діаметри судин, причому Бі > Б2. Будемо вихо­дити із виразу для визначення числа Рейнольдса (3.9):

Ке =-.

Отже, для фіксованих діаметрів судин при сталих в'язкості та густині крові турбулентний режим для судини з більшим діаметром Бі реалізується за меншої швидкості V. Оскільки у великих судинах швидкість руху крові більша, ймовірність переходу ламінарної течії у турбулентну у великих судинах також більша.

3.12. У скільки разів змінюється швидкість осідання еритроцитів у людей, які хворі на сфероцитоз, порівняно з нормою, якщо середній радіус еритроцитів при цьому захворюванні збільшується в 1,5 раза?

Г2 = 1, 5гі

Швидкість осідання еритроцитів визначимо за фор­мулою (3.8):

2(РеР - РкР)г2д V =-----.

Звідси знайдемо відношення швидкостей для різних радіусів ери­троцитів г:

V2 = 2(РеР - ркр)(г2)2д 9п = (г^2 = /1, = 2 25

Vl     9п • 2(рер - ркр)(гі)2д     \,гі/      \ гі

Отже, швидкість осідання еритроцитів у людей, які хворі на сферо-цитоз, збільшиться у 2,25 раза.

Задачі для самостійного розв'язування

3.13. Використовуючи закон Стокса, визначити, протягом якого часу в кімнаті висотою Н = 3 м повністю осяде пил. Частинки пилу вважати кулькоподібними, діаметром 1 мкм, густиною р = 2, 5 г/см3. В'язкість повітря Ппов = 17,2 мкПа-с, густина рпов = 1,2 кг/м3.

3.14. Порівняти формули для електричного К = р//£ та гідрав­лічного X = 8п1/(пК4) опорів. Проаналізувати загальні риси у цих формулах та вказати на відмінності.

3.15. У деяких випадках ліки дозують краплями. На скільки від­сотків зміниться доза водного розчину ліків при зміні температури від £і = 25°С до £2 = 10°С? Цим температурам відповідають поверхневі натяги о= 71, 78 мН/м та <т2 = 74,01 мН/м.

3.16. Визначити додатковий тиск, обумовлений поверхневим натя­гом у сферичній краплі туману, якщо її діаметр дорівнює 3 мкм. Коефі­цієнт поверхневого натягу води 72, 6 мН/м.

3.17. Різниця рівнів ртуті у сполучених скляному капілярі та широ­кій посудині дорівнює 7, 4 мм. Знайдіть радіус кривизни меніска рту­ті, якщо її густина 13600 кг/м3, а коефіцієнт поверхневого натягу ртуті

472 мН/м.

3.18. При визначенні сили поверхневого натягу краплинним мето­дом число крапель гліцерину, що витікає з капіляра, становить п = 50.

Загальна маса гліцерину т = 1 г, а діаметр шийки краплі у момент від­риву сС = 1 мм. Визначити коефіцієнт поверхневого натягу гліцерину.

3.19. Спирт по краплях витікає крізь вертикальну трубку з внутрі­шнім діаметром сС = 2 мм. Краплі відриваються через час Ді = 1 с одна після іншої. За який час витече маса т = 10 г спирту? Діаметр ший­ки краплі у момент відриву вважати таким, що дорівнює внутрішньому діаметру трубки.

3.20. Дві краплі води радіусом г = 1 мм кожна злилися в одну велику краплю. Вважаючи процес ізотермічним, визначити зменшен­ня поверхневої енергії при цьому злитті, якщо поверхневий натяг води а = 73 мН/м.

3.21. Тиск повітря усередині мильної бульбашки на Др = 200 Па більше за атмосферний. Визначити діаметр бульбашки. Поверхневий натяг мильного розчину а = 40 мН/м.

3.22. Повітряна бульбашка діаметром сС = 0, 02 мм знаходиться на глибині Н = 25 см під поверхнею води. Визначити тиск повітря в цій бульбашці. Атмосферний тиск нормальний, поверхневий натяг во­ди а = 73 мН/м.

3.23. Відомо, що серце людини скорочується в середньому 70 ра­зів за 1 хвилину, при кожному скороченні викидаючи близько 150 см3 крові. Який об'єм крові перекачує ваше серце за час чотирьох пар в університеті?

3.24. Оптимальний режим роботи серця: передсердя працюють 0,1 с, відпочивають 0,7 с; шлуночки працюють 0,3 с, відпочивають 0,5 с. Визначити, скільки років відпочивали шлуночки серця у люди­ни, якій 70 років. За середню частоту биття серця прийняти 70 ударів за хвилину.

3.25. У спокійному стані людини швидкість кровотоку в аорті приблизно дорівнює г1 = 0,4 м/с. Вимірювання під мікроскопом по­казують, що швидкість крові в капілярах г2 = 0, 5 мм/с. Знайти за­гальну кількість капілярів, якщо площа перерізу аорти £і = 4 см2, а діаметр одного капіляра сС = 10 мкм. Знайти сумарну довжину капіля­рів, якщо середнє значення довжини одного капіляра 1 = 0, 7 мм.

3.26. У людини в стані спокою величина кровотоку на 100 грамів м'язів руки становить 2,5 мл за хвилину. Визначити кількість капіля­рів у тканинах м'язів, вважаючи, що довжина кожного з них 0,3 мм, а діаметр 10 мкм. Різниця тисків на кінцях капілярів 33,3 • 102 Па, а в'язкість крові п = 5 мПа-с.

3.27. Визначити швидкість осідання еритроцитів у плазмі крові (в одиницях мм/год), виходячи з припущення, що вони мають форму ку­льок діаметром 7 мкм і не склеюються між собою. Густина еритроци­тів — 1090 кг/м3, густина крові — 1050 кг/м3, в'язкість крові — 5 мПа-с.

3.28. Визначити, скільки відсотків від добової витрати енергії лю­дини (11500 кДж) витрачається серцем на переміщення крові при ча­стоті пульсу 70 уд/хв, якщо середній тиск у лівому шлуночку дорівнює 12 кПа, а в правому в шість разів менший. Кожним шлуночком вики­дається 60 мл крові, а швидкість кровотоку в обох випадках — 0,4 м/с.

3.29. Через голку, що надіта на трубку завдовжки 20 см, виливає­ться кров з ампули діаметром 75 мм. Визначити, через який час з ампу­ли виллється 250 мл крові, якщо діаметр голки 1 мм, а її довжина 4 см. Ампула містить 500 мл крові. Трубка і ампула розташовані вертикаль­но. Густина крові — 1050 кг/м3, в'язкість крові — 5 мПа-с.

3.30. Діаметр поршня шприца 20 мм, площа отвору голки 0,5 мм2. Скільки часу витікатиме з горизонтально розташованого шприца но­вокаїн в'язкістю 1,24 мПа-с, якщо діяти на поршень силою 4 Н? Хід поршня — 4 см, довжина голки — 4 см.

3.31. Знайти лінійну швидкість кровотоку в аорті радіусом 1,5 см, якщо при тривалості систоли 0,25 с через аорту протікає 60 мл крові. У скільки разів ця швидкість менша від критичної? Густина крові — 1050 кг/м3, її в'язкість — 5 мПа-с.

3.32. Знайти гідравлічний опір кровоносної судини завдовжки 0,1 м і радіусом 0,15 мм.

3.33. Визначити роботу, що здійснюється серцем при скороченні лівого шлуночка, якщо в аорту зі швидкістю 0, 5 м/с викидається 60 мл крові при тиску 13 кПа.

3.34. Знайдіть об'ємну швидкість крові в аорті, якщо радіус її про­світу 1,75 см, а лінійна швидкість крові в ній 0,5 м/с.

3.35. Через циліндричну трубку довжиною 50 см та внутрішнім діа­метром 1 см пропускають повітря з об'ємною витратою 10 л/хв. Знайти зміну тиску в трубці. Температура повітря дорівнює 20°С.

3.36. Унаслідок втрати пружних властивостей судин при атеро­склерозі число Рейнольдса істотно змінюється. Знайти число Рей-нольдса у судині діаметром 3 мм, в якій швидкість руху крові до­рівнює 1,8 м/с. Взяти густину крові 1060 кг/м3, а в'язкість крові — 5 • 10-3 Па-с.

3.37. Одне коліно II — подібної трубки має радіус г1 =0, 5 мм, а інше — г2 = 1 мм. Знайти різницю рівнів води в колінах. Коефіцієнт поверхневого натягу води а = 0, 073 Н/м. Змочування повне.

3.38. Трубка із внутрішнім діаметром сС = 4 мм опущена у ртуть на глибину Н = 5 мм. При цьому ртуть не заходить до трубки. Знайти крайовий кут Густина і коефіцієнт поверхневого натягу ртуті рівні: ррт = 13,6 г/см3 і арт = 0,47 Н/м.

4.   Вільні незгасні механічні коливання

Основні формули

• Диференціальне рівняння вільних незгасних коливань

-^о х, (4.1)

Сі2

де х зміщення від положення рівноваги точки, що коливаєть­ся (м); і час (с); ш0 — власна циклічна (колова) частота коли­вань (рад/с).

Циклічна частота коливань

wo = л/ї (4.2) V m

де k коефіцієнт квазіпружноїсили (F = kx (2.8)), що виникає в системі при її виході із положення рівноваги (Н/м); m маса точки, що коливається (кг).

Розв'язок рівняння (4.1) (часова залежність координати точки, що коливається)

x(t) = A cos(w0t + р0), (4.3)

де A амплітуда коливань (м); р = w0t + р0 фаза коли­вань (рад); р0 початкова фаза коливань (рад) (р = р0 при t = 0); w0 циклічна частота коливань (рад/с).

Швидкість матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливан­ня:

dx

v(t)   =   = Aw0 sin(w0t + р0) = (4.4)

=    Vm Sin (W0t + P0) = Vm COS (W + P0 + T^j ,

де vm = Aw0 амплітуда швидкості (м/с).

Прискорення матеріальної точки, що здійснює гармонічні коли­вання:

( 2x ( v

a(t)   =   dt2~ = dt = —Aw2 cos (wot + po) = (4.5) =   —am cos (wot + po) = am cos (wot + po + n), де am = Awo2 - амплітуда прискорення (м/с2).

Зв'язок між частотою v, періодом T та циклічною частотою w0:

1 2п wo = 2vrv,   v = т>   wo = —. (4.6)

Якщо тіло, що коливається, за деякий проміжок часу t здійснює n коливань, то період та частоту можна знайти за формулами

T = I   v = " (4.7)

nt

Періодколивань математичного маятника

T = - = 2M/g, (4.8)

wo д

де I — довжина маятника (м); д — прискорення вільного падін­ня (м/с2).

Період коливань пружинного маятника

Т = = =2п./|, (4.9)

де т — маса вантажу (кг); кжорсткість пружини (Н/м). Період коливань фізичного маятника

г=2*\ё- ,4Л0)

де 7 — момент інерції фізичного маятника відносно осі, що про­ходить крізь точку підвісу (кг-м2); І — відстань між точкою підвісу та центром маси маятника (м).

Зведена довжина фізичного маятника

Кінетична енергія матеріальної точки, що коливається:

kA2

Ek = — sin2 (w0t + р0). (4.12)

Потенціальна енергія матеріальної точки, що коливається:

kA2

Ep = —cos2 (w0t + р0). (4.13)

Повна механічна енергія матеріальної точки, що коливається:

E = Ek + Ep = kA2 = -f-. (4.14)

Амплітуда результуючого коливання при додаванні двох однако­во спрямованих коливань з однаковою частотою:

A = ^ A? + A2 + 2Ai A2 cos(p02 — Р01), (4.15)

де A?, A2 — амплітуди гармонічних коливань, що додаються (м); р01, р02 — початкові фази цих коливань (рад).

Початкова фаза результуючого коливання при додаванні двох однаково спрямованих коливань з однаковою частотою

A? Sin Р01 + A2 Sin Р02 ,ллс\

Р0 = arctg--—-. (4.16)

A? cos Р01 + A2 cos Р02

При додаванні двох взаємно перпендикулярних коливань, що за­дані рівняннями

x = A? cos(w0t + Р01),   y = A2 cos(w0t + Р02), (4.17)

отримаємо періодичний рух матеріальної точки по еліптичній траєкторії. В загальному випадку рівняння еліпса має вигляд

22

x xy y 2

A2 2 A1A2 COS(Р02 Р01) + A2 = 02 Р01). (4.18)

Приклади розв'язування задач

4.1. Записати рівняння гармонічного коливання, якщо амплітуда прискорення йтах = 50 cм/c2, частота коливань V = 0, 5 Гц, зміщення точки від положення рівноваги в початковий момент часу ж0 = 25 мм. Знайти амплітуду швидкості.

amax = О, Б м/с2,

v = О, Б Гц, Xq = О, О2Б м

vmax ?

Рівняння гармонічного коливання має вигляд (4.3)

X = А ЄО8(Ш0І + р0)-

Знайдемо швидкість як першу похідну від коор­динати за часом V = <іх/<і£:

x(t),v.,

v = -Awo sin(wot + po) = -vmai sin(wot + po). Звідси амплітуда швидкості визначається як

vmai = Aw0.

Прискорення — це друга похідна від координати за часом, або пер­ша похідна від швидкості (а = d2x/dt2 = dv/dt):

а = -Aw2 cos(wot + po) = -атаж cos(wot + po).

З останнього рівняння випливає вираз для амплітуди прискорення:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання