Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

amax = Awo.

Розрахуємо циклічну частоту коливань за формулою (4.6):

wo = 2nv = 2 • п • 0, 5 = п (рад/с). Отже, тепер можна знайти амплітуду коливань:

л       amax 0, 5 п ілк ґ \

A = —7г~ = -?г = 0, 05 (м).

wo      3,141592      '    V ;

Залишилося знайти початкову фазу po:

x(t = 0) = xo = A cos po,   cos po = a,   Po = arccos ,

або після підстановки відомих значень:

0, 025 \ /1 \ п

Pq = arccos ( "О"ОБ   = arccos 3 .

Шукане рівняння гармонічного коливання набирає вигляду

п4

х = 0, 05 cos iirt + За умовою також потрібно знайти амплiтуду швидкості:

vmax = Awq = О, ОБ • 3,14159 = 0,157

4.2. Записати рівняння гармонічного коливання, якщо амплітуда швидкості Утах = 0,63 м/с, період коливань Т = 1 с, а зміщення точ­ки від положення рівноваги в початковий момент часу дорівнює нулю. Знайти амплітуду прискорення атах та частоту коливань V.

Рівняння гармонічного коливання (4.3): х = А а^(а;оі + ро)-

vmax

= 0,63 м/с,

T =

1 с,

Xq =

0

x(t),

amax,v ?

Швидкість матеріальної точки, що здійснює гар­монічні коливання (4.4):

у = -Ашо sin(wо^ + ро) = тах sin(wо^ + ро)-Прискорення точки при гармонічних коливаннях (4.5):

а = -Аші «^(и^ + ро) = тах «^(и^ + ро)-Знайдемо частоту коливань V та циклічну частоту шо за формулами

(4.6):

2п    2п /рад\ 1 1

^q = t = т = 2п1—^   v = T = Т = 1^).

Тепер знайдемо амплітуду коливань через відоме за умовою зна­чення амплітуди швидкості vmax:

л            л      vmax       0, 63 , .

Vmax = Auq,     A = - = —-      =0, 1 (м).

Wo 2п

Початкову фазу шукатимемо аналогічно до першої задачі:

п

A cos p0 = х0,   A cos p0 = 0,   p0 = arccos(0) = .

Рівняння гармонічного коливання набирає вигляду

п4

x = 0,1 cos ( 2nt + 2а амплітуда прискорення

= Лші = 0,1 • (2п)2 = 3,94

X =

ТА,

Т =

4 с,

Р0 =

= п/2

і-?

4.3. Математичний маятник здійснює гармонічні коливання. Через який проміжок часу він при першому коливанні відхилиться від поло­ження р!вноваги на відстань, що дорівнює амплітуді, якщо період ко­ливання Т = 4с, а початкова фаза коливань р0 = п/2?

За умовою потрібно знайти мінімальний час, за який зміщення точки від положення рівноваги досягне амплі­тудного значення. Оскільки у процесі коливань зміщення відбувається у двох напрямах, можна записати таке спів­відношення:

х = А ео8(ш0і + р0) = тА. Потрібно обрати знак перед амплітудою, якому відповідатиме мен­ший час і. З того, що початкова фаза р = п/2, випливає, що координа­та спочатку буде змінюватися від 0 до —А. Отже, обираємо знак "—":

А еов(ш0і + р0) = —А,

еов^і + <А)) = —1,

ш0і + р0 = агееов(—1) = п.

к урахуванням співвідношення ш0 = 2п/Т та підставляючи значення

р0 = п/2 маємо „ ,

2пі п

+2 = п

або після підстановки значення періоду

пп

-і + - = п.

2 2

З останнього співвідношення знаходимо значення шуканого часу і = 1 (с).

4.4. Матеріальна точка масою т = 0,002 кг здійснює гармонічні коливання. В деякий момент часу і зміщення точки х = 0,05 м, швид­кість V = 0, 2 м/с, прискорення а = —80 см/с2. Знайдіть колову ча­стоту а;0, період Т, фазу коливань р в заданий момент часу, а також амплітуду А та повну енергію Е точки.

m = 0, 002 кг, x = 0, 05 м, v = 0, 2 м/с, a

= —0, 8 м/с2

wo, T, p, A, E-?

Рівняння гармонічних коливань (4.3)

х = А «х^^оі + р0)-

Швидкість матеріальної точки, що здійснює гар­монічні коливання (4.4):

V = — Аш0 8Іп(о;0і + р0).

Прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях

а = — А^0 со8(а;0£ + р0).

Щоб знайти частоту та період коливань, поділимо прискорення точки а на її координату х:

а       Аа;2 соз(а;0£ + р0) х

A cos(wot + p0)

= —w0,

звідси

a

wo

О, В

=4

рад с

x      О, ОБ

Період коливань T визначається за формулою (4.6) 2п    2-3,14159

T=

1, 57 (с).

^0 4

Для знаходження фази в заданий момент часу розділимо швидкість V на прискорення а:

V     —Аш0 8Іп(а;0£ + р0) а

-Aw0 cos(wot + p0)

= w0 1tg(wo t + po),

v      О, 2

tg(wot + po) = -wo = —-г4 =

a — О, В 1,

~4 .

p = w0t + po = arctg(-l) =

Тепер знайдемо амплiтуду коливань із часової залежності для ко­ординати:

x 0,05

A=

-ту = 0, 0707 (м).

cos(wot + po)    cos (-4)

Знайдемо повну енергію E гармонічних коливань. Вона буде рівна сумі кінетичної Efc та потенцiальної Ep:

E = Efc + Ep.

Коли реалізується максимальне значення швидкості V = vmах, по­тенціальна енергія Ер = 0, тому

E = E + E = E       — ' max

2 ^a2^2

kmax

Після підстановки числових значень отримаємо

Е = 0,002-(МШТ2 ■ 42       8 . (Дж).

4.5. Початкова фаза коливань точки р0 = 0, період коливань Т = 1 с. Знайти найближчі моменти часу, в які зміщення, швидкість та прискорення удвічі менші за їх амплітудні значення.

po = 0 рад, T = 1 с, х(І1) = A/2,

V(t2) = Vmax/2, а(із) = (lmax/2

Знайдемо циклічну частоту (4.6): 2п    2п /рад

Wo = т = Т = 2п (—

Iз урахуванням цього значення та початкової фази p o = 0 часова залежність координати точки, що коливається, відповідно до (4.3) набирає вигляду

х = A cos(2nt).

За умовою потрібно знайти найближчий момент часу t1, в якій зміщен­ня точки х удвічі менше за амплітудне значення A, тобто можна запи­сати

A 1 /1 \ п

— = Acos(2nt1),   cos(2nt1) = -,   2nt1 = arccos I - ) = —. 2 2 V 2 J 3

Звідси знайдемо значення часу t1:

2пІ1 = П,    2І1 = 1,   І1 = 1 (с). З Зо

Для знаходження моменту часу, в який швидкість V вдвічі менша за

своє амплітудне значення, запишемо закон зміни швидкості із часом

відповідно до виразу (4.4) та знайденого значення циклічної частоти

V = -Vmax Sin(2nt2).

Оскільки потрібно знайти мінімальний час І2, потрібно використо­вувати співвідношення V = -0, 5Vmax, тому що функція sin у першій чверті набуває додатних значень. Отже, отримаємо таке:

-Vm2ax = - Vmax sin(2nt2),    sin^nf^)—[1] ■   2пІ2= arcsin

2nt2 = О^      — 1 ^  t2 = 1[2]2^).

Залишилося знайти найближчий момент часу Із, в який прискорення вдвічі менше за амплітудне значення. Закон зміни прискорення із ча-сомзгідновиразу(4.5) дляумовицієїзадачінаберевигляду

a = -amax cos^^).

Згідно з останнім рівнянням на початку процесу прискорення ма­тиме від'ємне значення, оскільки функція cos у першій чверті додатна. Із урахуванням цієї обставини запишемо таке:

amax 1 1

2 := - Umax cos(2^t3), cos(2^t3)=-, 27гг.3= arccos

тт 1 1 , ,

2nt3 = -,    2t3 = -,   із = - (с). 3 3 6

4.6. Матеріальна точка масою m = 0,005 кг коливається згідно з законом x = 0,1cos(2i + р0). Знайдіть максимальну силу, що діє на точку, та повну енергію E системи.

m = 0,005 кг,

x = 0,1 cos(2t + p0)

В умові задачі даний закон коливань у ка­нонічному вигляді:

^тах,Е-? X = 0, ІС08(2І + ро).

Якщо порівняти його та рівняння для гармонічних коливань (4.3)

х = А со8(ш0і + р0)

отримаємо значення амплітуди та частоти:

А = 0,1 (м),   шо = 2 (рад/с).

Максимальну силу, що діє на точку, будемо знаходити за другим законом Ньютона:

^ = шатах = тАшО = 0,005 • 0,1 • 2[3] = 0,002 (Н).

Повну енергію точки знайдемо як максимальну кінетичну (див. за-

А2

дачу 4): 2 2 2

mvmax mA2w0

E = Ekmax бо після подстановки числових даних

Е    0, 005 • 0,12 • 22 4 )

Е =---= 10 (Дж).

4.7. Пружина, до якої підвішене тіло, видовжилася на х = 0, 04 м. Знайти частоту коливань пружинного маятника.

х = 0,04 м, д = 9,8 м/с2

Частота коливань пружинного маятника визнача­ється формулою (див. (4.9), (4.6))

= 1_ к_ У = 27гУ т.

Згідно із законом Гука пружна сила, що виникає при розтягу пру­жини під дією вантажу, дорівнює (2.8)

   к х.

На вантаж також діє сила тяжіння (1.8)

Рт = тд.

Оскільки пружина розтягується під дією вантажу та потім знахо­диться у стані спокою, ці дві сили за третім законом Ньютона рівні за модулем та протилежні за напрямком, тому

кд

кх = тд,   — = .

тх

Підставляючи одержане відношення у формулу для частоти, отри­муємо ,_

2тг V т     2тг V х або після підстановки числових значень

Ч2 = 5 8іп 2і

Пі2

х2

Будемо виходити з рівняння еліптичної траєкторії, що реалізується при додаванні двох взаємно перпен­дикулярних коливань (4.18):

,2

ху

у

ЄО802 - Р0і) + А! = 8І^(^02

За умовою задачі додаються дві напруги із амплітудами 3 В та 5 В і нульовою різницею фаз (р>02 — <Ал) = 0. Оскільки 8Іп(0) = 0, а ео8(0) = 1, маємо таке рівняння:

2 тт тт /тт \ 2

= 0,

Пі 3

2 44 +

35

5

або із застосуванням відомої формули (а—Ь)

2

2аЬ+Ь2 отримуємо

Ч2

= 0,    5Чі = ЗЧ2.

Чі_ чл' = 0 Чі__

З      5 )       ,     3 5 Отже, електронний промінь буде описувати на екрані пряму лінію, що задається рівнянням

Чі = 0,6Ч2.

4.9. Суцільний циліндр висотою Н = 32 см плаває у вертикальному положенні в рідині, на 2/3 занурений у неї. Знайти період його верти­кальних коливань навколо положення рівноваги.

Н = 0, 32 м, Узш = 2У/3,

д = 9, 8 м/с2

Нехай V — об'єм усього циліндра, тоді зануре­на частина його об'єму \^зан = 2^3. Оскільки ци­ліндр знаходиться у стані спокою, на нього діють сила тяжіння (1.8)     = тд та сила Архімеда (1.7) = Ррді^ан, які згідно умови плавання тіл (1.9) протилежно напрямлені та однакові за модулем:

тд = ^д^е,

де т = pV маса циліндра; рр густина рідини; р -циліндра. Отже, маємо

2

густина матеріалу

2

3 ^,

Р

Диференціальне рівняння вертикальних коливань циліндра отри­муємо із другого закону Ньютона:

ї2 х

т = ~Р>

де квазiпружна сила і — це сила, яка повертає циліндр у стан спокою при його додатковому зануренні у воду. Сила тяжіння, що діє на ци­ліндр, при його зануренні не змінюється. Отже, квазіпружна сила і — це додаткова сила Архімеда, що виникає при його зануренні. Нехай циліндр занурений додатково на величину х по відношенню до свого рівноважного положення. При цьому нескомпенсована частина сили Архімеда дорівнює квазіпружній силі і знаходиться за формулою

де 5 — площа поперечного перерізу циліндра або площа його основи. Маса циліндра знаходиться за формулою

т = рБН.

Після підстановки останніх двох рівностей у другий закон Ньютона маємо

або із урахуванням знайденого раніше співвідношення між густинами Р = (2/3)рр:

2     ї2х = ї2х = 3#

зрр// аї2" = ~мх  аї2" = - 2//х.

Порівняємо останнє рівняння із диференціальним рівнянням для гармонічних коливань (4.1):

а2х 2

Звідси знайдемо циклічну частоту:

2    3# /3#

Шо = 27/'  Шо = У2//.

Період знайдемо із останнього співвідношення (4.6):

З?

Кінцева формула отримана, підставимо числові значення:

/2 • 0,32 , ч

Т = 2тгд/ — =2 • 3,14159л/--— = 0, 93 (с).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання