Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

V 3^ V 3 • 9,8       ' 17

4.10. У годиннику довжина сталевого маятника розрахована для температури 0°С. На скільки відставатиме годинник за добу при тем-пературi повітря 30°С?

і =30°С,

*Доб = 86400 с,

а = 12 • 10"6 К-1

Аі-

із підвищєнням температури довжина мета­левого маятника стає більшою за рахунок про­цесів лінійного розширення сталі. Довжина 1 при підвищеній температурі визначається за форму­лою

1 = 1о(1 + аг),

де 10 — довжина при температурі 0°С; а — коефіцієнт лінійного розши­рення металу; г — температура у градусах Цельсія. Нехай Т0 — період при нулі Цельсія (коли годинник іде точно), а Т — період при ненульо-вій температурі. Згідно з формулою (4.8) для періоду коливань мате­матичного маятника маємо

То = 2тгд -,   Т = 2п

Оскільки при підвищенні температури довжина маятника 1 збіль­шується, збільшується також і період коливань Т, і за один і той са­мий час система встигає зробити меншу кількість коливань. Отже, при підвищенні температури годинник починає відставати. Знайдемо, на скільки він відстане за добу. У добі гДОб = 86400 секунд. Кількість ко­ливань за добу при нульовій температурі N та ненульовій N визна­читься як + , + ,

N = гдоб     N = гд°б

0     Т0 , Т .

Щоб знайти час Аг, на який відстає годинник при підвищеній тем­пературі, потрібно кількість коливань N, що він здійснює, помножити на час (Т — Т0), на який він відстає за одне коливання:

Аі = N(Т - То) =      (Т - То) = ідоб(1 або після підстановки виразів для періодів

—(Т - То) = гдоб(1 - Т'

VI+12•10-6•30

1

л/1 + аі

1

15, 55 (с).

Задачі для самостійного розв'язування

4.11. Диференціальне рівняння гармонічних коливань має вигляд 0, 2^ + 0, 8х = 0. Знайти період та частоту цих коливань.

4.12. Тіло масою т = 0, 5 кг здійснює гармонічні коливання з ам­плітудою А = 4 см. Знайти період коливань, якщо максимальна кіне­тична енергія тіла, що коливається, дорівнює Етах = 0,98 Дж.

4.13. Ареометр масою т = 50 г, що має у верхній частині циліндри­чну трубку діаметром Б = 1 см, плаває у воді. Знайти частоту власних вертикальних коливань ареометра навколо його положення рівноваги.

4.14. Довжина стовпчика ртуті у трубках манометра, що сполуча­ються, дорівнює 1 = 50 см. Знайти період власних коливань ртуті у манометрі.

4.15. Вантаж масою т = 200 г підвішений до пружини з коефіцієн­том пружності к = 9,8 Н/м. Знайти довжину математичного маятника, що має такий самий період коливань, як цей пружинний маятник.

4.16. Вантаж масою т = 0,3 кг, що підвішений до пружини, розтя­гує її на Ах = 2,2 см. Знайти кінетичну та потенціальну енергії ванта­жу через Аі = 3 с після початку коливань, якщо в початковий момент вантаж відтягнули на х1 = 5 см від положення рівноваги і відпустили.

4.17. Повна енергія тіла масою т = 1 кг, що здійснює гармонічні коливання, Е = 1 Дж, максимальна повертаюча сила Етах = 0,1 Н. Записати диференціальне рівняння коливань та його розв'язок, якщо початкова фаза р0 = п/4.

4.18. Рівняння коливань матеріальної точки масою т = 16 г має вигляд х = 0,02віп(пі/8 + п/4). Знайти кінетичну, потенціальну та повну енергію точки через Аі = 2 с після початку коливань.

4.19. На ідеально гладкому горизонтальному столі знаходиться ку­ля масою М, що прикріплена до вертикальної стійки пружиною із кое­фіцієнтом пружності к. Куля масою т летить зі швидкістю V, потра­пляє в кулю та залишається в ній. Знайти амплітуду та період коли­вань, що виникають при цьому, а також максимальні значення швид­кості та прискорення.

4.20. Знайти момент інерції фізичного маятника масою т = 20 кг, якщо він здійснює коливання з періодом Т = 3,14 с, а відстань від точки підвісу до центра маси 1 = 1 м.

4.21. Зведеною довжиною фізичного маятника називають довжи­ну такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань фізичного маятника. Знайти частоту власних ко­ливань ноги людини, розглядаючи її як фізичний маятник зі зведеною довжиною 1 = 40 см.

4.22. Два однаково спрямованих коливання задаються рівняннями

х1 = 3ео8 5(і + 0, 04п),   х2 = 5ео8 5(і + 0,14п).

Записати рівняння результуючого коливання, що є результатом дода­вання цих двох.

4.23. Розкладіть гармонічне коливання, що здійснюється за зако­ном х = 10еов(6і + 0, 2п), на два гармонічних коливання тієї самої частоти та того самого напрямку таким чином, щоб початкові фази цих коливань дорівнювали р01 = 0,1п та р02 = 0, 5п відповідно.

4.24. Два однаково спрямованих гармонічних коливання з однако­вою частотою та амплітудами А1 =3 см та А2 = 5 см поєднуються в одне гармонічне коливання з амплітудою А = 7 см. Знайдіть різницю фаз коливань, що додаються.

4.25. На горизонтальний та вертикальний входи осцилографа по­дають напруги и1 =2віп5і та и2 = 2віп(5і + а). Знайти рівняння тра­єкторії, яка описується електронним променем на екрані осцилографа, при: а) а = п/2; б) а = п.

4.26. В електронній трубці зміщення пучка електронів пропорційне напрузі на відхиляючих пластинах. Знайти рівняння кривої, що опи­сується електронним променем на екрані трубки, якщо на горизон­тально та вертикально відхиляючі пластини подані відповідно напруги и = 2 8іп5і,   ^2 = 2ео8 5і.

4.27. Два коливання спрямовані уздовж однієї прямої та мають однаковий період, що дорівнює 10 с. Амплітуди коливань також одна­кові й дорівнюють 0,01 м. Різниця фаз коливань становить 45°, почат­кова фаза одного з коливань дорівнює нулю. Записати рівняння ре­зультуючого коливання.

4.28. Маятник (сталева кулька на нитці) масою 5 г має період ко­ливань 1 с. Коли під кулькою помістили магніт, період зменшився до 0, 8 с. Визначити силу притягання кульки до магніту.

4.29. Вантаж, підвішений на пружині, вивели із положення рівно­ваги та відпустили. Якщо період коливань вантажу дорівнює 0,9 с, то його кінетична енергія буде у 3 рази більша за потенціальну енергію пружини через проміжок часу Аі. Знайти цей проміжок Аі.

4.30. Вантаж на пружині здійснює коливання з періодом 1 с, про­ходячи уздовж вертикалі відстань 15 см. Яка максимальна швидкість вантажу?

4.31. Знайти прискорення вільного падіння на Місяці, якщо маят­никовий годинник іде на його поверхні у 2,46 раза повільніше, ніж на Землі.

4.32. Яким стане період коливань секундного маятника при його переміщенні з Землі на Місяць, якщо сила тяжіння на поверхні Місяця в 6 разів менша, ніж на Землі?

4.33. У скільки разів і як відрізняється період гармонічних коли­вань математичного маятника на планеті, маса і радіус якої у 4 рази більші, ніж у Землі, від періоду коливань такого самого маятника на Землі?

4.34. Періоди коливань двох математичних маятників відносяться як 3:2. У скільки разів і який маятник довший?

4.35. Один із маятників здійснює за один і той самий час на 30 ко­ливань менше за інший. Відношення їх довжин 9:4. Знайдіть число ко­ливань кожного з маятників за цей час.

4.36. Один із маятників здійснив 10 коливань, інший за такой са­мий час здійснив 6 коливань. Різниця довжин маятників 16 см. Знайти довжини обох маятників.

4.37. Яка довжина математичного маятника, що здійснює коливан­ня за законом х = 0,004еоз(2і + 0,8)?

4.38. Годинник із маятником довжиною 1 м за добу відстає на 1 го­дину. Що потрібно зробити, щоб годинник не відставав?

4.39. Математичний маятник довжиною 1 м підвішений у ліфті. Яким буде період коливань маятника, якщо ліфт підіймається із при­скоренням 1,8 м/с2 та опускається із таким самим прискоренням?

4.40. Підвішений на невагомій пружині вантаж здійснює верти­кальні коливання з амплітудою 4 см. Знайти енергію гармонічного ко­ливання вантажу, якщо для пружного видовження пружини на 1 см по­трібна сила 0,1 Н.

4.41. Гиря, що підвішена до пружини, коливається з амплітудою 3 см. Жорсткість пружини 980 Н/м. Знайти найбільшу кінетичну енер­гію гирі.

4.42. Потенціальна енергія тіла масою 0,4 кг, що здійснює гармоні­чні коливання на невагомій пружині, становить 3,2 • 10-2 Дж. Знайти швидкість тіла, що коливається, у момент проходження ним положен­ня рівноваги.

4.43. Тіло здійснює гармонічні коливання на пружині за законом х = 0,07еов(пі + 0, 5п). Жорсткість пружини 20 Н/м. Знайти частоту коливань та повну енергію тіла.

4.44. Знайти масу тіла, що здійснює гармонічні коливання на пру­жині з амплітудою 0,1 м та частотою 2 Гц, якщо повна енергія коливань дорівнює 7,7 мДж.

4.45. Коливання задані рівнянням х(і) = А8іп(ші). При фазі ко­ливання р1 = п/6 зміщення складає х1 = 2 см. Визначити амплітуду коливань і зміщення при фазі р2 = 3п/4.

.   Вільні та вимушені згасні коливання

сновні формули

• Диференціальне рівняння вільних згасних коливань

де ш0 власна частота коливань системи при відсутності зага­сання (рад/с); в = г/(2т) коефіцієнт загасання (с-1); т маса точки, що коливається (кг); т (кг/с) коефіцієнт пропор­ційності між швидкістю матеріальної точки та силою тертя і1^:

ітр = —ту, (5.2)

де у швидкість (м/с).

Розв'язок рівняння (5.1) залежить від знака різниці:

ь2 = и20 — в2, (5.3)

де ьь колова частота згасних коливань.

При ь° — в2 > 0 розв'язок набирає вигляду

х = А0е-/3* ео8(ьі + р0), (5.4)

де А0 початкова амплітуда (м); р0 початкова фаза коли­вань (рад); ї час (с).

При ш° в2 < 0 частота стає уявною, а процес аперіо­дичним.

• Період згасних коливань

= 2п = _|^. (5.5)

• Амплітуда згасних коливань

А = Аое"в*. (5.6)

Логарифмічний декремент загасання

А = 1п лЦТт) (5.7)

де і А (і + Т) два послідовних значення амплітуди згасних коливань, що розділені інтервалом часу, який дорівнює періоду коливань Т.

Зв'язок коефіцієнта загасання в та логарифмічного декремента загасання А

А = вТ. (5.8)

Часова залежність повної енергії згасних коливань, усередненої за періодом коливань при слабкому загасанні в С 1:

Е = ^1^! в"2в*. (5.9)

Час релаксації коливань (час, за який амплітуда зменшується в е разів):

т = Г. (5.10)

Кількість коливань, що здійснює коливальна система за час ре­лаксації т:

*•=Т=вТ=А. (511)

Добротність коливної системи

0 = 2п ДЕ = г-^ (512)

де Е повна енергія коливань; ДЕ втрата енергії за один пов­ний період коливань.

При в С 1 із використанням наближень 1 е-2Л к 2А, ооо ~ оо:

*==пТ = А = 2в. (5.13)

Диференціальне рівняння вимушених коливань

— + 2/?— + ш^х = — еов(ші), (5.14)

аг2      аг т

де і0 — амплітуда вимушувальної сили (Н); т — маса матеріаль­ної точки (кг); ш — циклiчна частота вимушувальної сили (рад/с).

Зміщєння матеpiальної точки після встановлення стаціонарного режиму вимушених коливань

х = А еов(ші + р0), (5.15)

де амплiтуда розраховується за формулою

і0

А =-. 0 -, (5.16)

а початкова фаза

ро = arеtg (   22вШ 2 ) . (5.17)

Циклiчна частота вимушених коливань, за якої спостеpiгається резонанс:

шрез = \]шо2 - 2в2. (5.18) • Амплiтуда вимушених коливань при резонансі

АрЄЗ = 2втУШ2-в2. (5.19)

Приклади розв'язування задач

5.1. Математичний маятник довжиною 1 = 50 см, виведений із по­ложення piвноваги, відхилився при першому коливанні на хі = 5 см, а при другому (у той самий бік) — на х2 = 4 см. Знайти логарифміч­ний декремент загасання та час релаксації (час спадання амплітуди в є разів) для цих коливань.

1 = 0, 5 м, А0 = 0, 05 м,

Аі = 0, 04 м,

д = 9, 8 м/с2

Рівняння згасних коливань має вигляд (5.4): X = А0е-/3* ео8(шг + р0), де частота визначається за формулою (5.3):

2 2      о 2

де ш0 власна частота коливань без загасання; в коефіцієнт зага­сання.

За умовою задачі моменти часу, коли зміщення рівне хі та х2, роз­ділені повним періодом коливань Т. Отже, візьмемо х1 за початкову амплітуду А0, а х2 позначимо як амплітуду А1. Знайдемо логарифміч­ний декремент загасання за формулою (5.7):

А = =1п 4 ю о, 22з.

Амплітуда коливань при загасанні визначається за формулою (5.6): „.

За умовою потрібно знайти час релаксації т, за який амплітуда зменшується в е разів. Отже, маємо

4і = 4,    4 = 4ое-вт,   е-1 = е-вт,   вт = 1,   т = 1. е       е в

Отже, щоб знайти час т, потрібно знайти коефіцієнт загасання в. Згідно формули для визначення логарифмічного декременту загасання

(    )        А = 1п Л =1п /0Єй"-!+т) =1певт = вТ.

Тепер задача зводиться до знаходження періоду коливань Т. Використаємо формулу (5.5):

Т = 2п 2п

ш     ^Ш02 - в2

Пригадаємо, що в умові задачі нам даний математичний маятник, а його власний період коливань без загасання Т0 визначається за фор­мулою (4.8):

т0=2^д.

Із урахуванням цього знайдемо власну циклічну частоту коливань маятника за останньою формулою (4.6):

2п гд

Ш0 = ТгГ,     Ш0 = у г

То V і

Підставимо всі знайдені величини в раніше отримане рівняння А = вТ, й отримаємо таке:

2-7Г /-

А = вТ,   А = в^===,   ^Шо2 - в2 = 2пв, V ш° - в2 *

А2° - в2) = 4п2в2,   в2(4п2 + А2) = А2ш°, в = -=^£=, = А ' '

Після підстановки числових значень та відповідного розрахунку

в = 0' 22^0,5(4 • 3,14Ш2 + 0,2232) = 0157 (,

Тепер можна знайти час релаксації: 1 1

в    0,157 6,37 (с).

5.2. За час Аг = 10 с амплітуда коливань зменшилася в е разів. Знайти коефіцієнт загасання цих коливань в.

Аг = 10 с, А12 = є

в—?

Запишемо згідно з формулою (5.6) вирази для зна­ходження двох амплітуд 41 та 42, що розділені проміж­ком часу Аг:

41 = 4ое-ві1,

А2 = А0Є-в(*1+А*). Поділимо перше рівняння на друге й отримаємо

А2 А0Є-в(*і+А*) За умовою задачі а

,. є.

А2

Отже, із порівняння двох останніх співвідношень маємо Після розрахунку

евА = е1,   РАі = 1,   в = Дт.

V =

100 Гц,

Л =

0, 002,

N =

= Аі2 = 100

Ді-

 

в = 4 = - = 0,1 (с-1) .

Зазначимо, що цю задачу можна було розв'язати за один крок, ско­риставшись формулою (5.10).

5.3. Логарифмічний декремент загасання камертона, що коливає­ться із частотою V = 100 Гц, дорівнює 0, 002. Через який проміжок часу амплітуда коливань камертона зменшиться у 100 разів?

Запишемо вираз для знаходження ампліту­ди (див. (5.6) та третє співвідношення поперед­ньої задачі):

А2 = Аіе-вА*. Із цього співвідношення можна отримати таке:

А = евА = N   1п N = вДі,   Ді = ^. А2 и в

Для знаходження коефіцієнта загасання коливань в використаємо

вираз для визначення логарифмічного декременту загасання Л (5.8) та

з'вязок періоду коливань Т з частотою V (4.6):

Л = вТ,   Т = 1     Л = в,   в =

V V

Після підстановки цього значення у знайдений вираз для Д

1п N     1п N

Ді = = ^

або після підстановки числових значень

п 100

Ді =-= 23,03 (с).

5.4. Логарифмічний декремент загасання маятника дорівнює Л = 0,02. У скільки разів зменшиться амплітуда після 50 повних ко­ливань?

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання