Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

Л = 0,02, тт., ,      -

N    Нехай гчас, необхідний для зменшення амплітуди

——=—— коливань в N разів. Тоді згідно із (5.6) маємо

Для здійснення системою N повних коливань згідно із (4.7) потріб­ний час

де Т — період коливань або час одного повного коливання. Коефіцієнт загасання виразимо через логарифмічний декремент загасання згідно із (5.8): Л

Л = вТ   в = у-Підставимо дані вирази у першу формулу:

ер = ехр ■

■{И

А2    ~ ~"^Т Знайдемо числове значення шуканої величини:

4і

42 = е0,02'50 = е = 2, 71.

Зазначимо, що оскільки амплітуда зменшується в е разів, то N = 50 повних коливань системи у цьому випадку відповідають часу релаксації.

5.5. За час АГ1 = 10 с амплітуда коливань маятника зменшилась у 3 рази. За який час вона зменшиться в 10 разів?

Аіі = 10 с, А12 = 3, 4і/4з = 10

Запишемо вирази для визначення амплітуди через часи Ді1 та Ді2, згідно із (5.6), позначивши початкову амплітуду як А1 :

А2 = Аіе-вАІ1,

Аз = Аіе-вА*2. Із першого виразу отримуємо Аі

АГ2—?

а із другого

А2

Аз

евАІ1,

евАг2,

вАіі = 1п в АГ2 = 1п

Аі Аз-

Почленно поділивши два останні вирази, отримаємо Аіі    1пі2)     Л+     АГі 1піз)

Ді2    1пізГ 1пі2) '

Знайдемо числове значення шуканої величини:

101п10

Ді2 = 3- = 101°§з 10 = 21 (с). 5.6. Вимушені коливання описуються диференціальним рівнянням

(І2 х Ж

0, А—г + 0, 48— + 1, 6х = 0, 8 віп(3і). І і2 І і

Знайти циклічну частоту вимушених коливань та циклічну часто­ту власних коливань системи. При якій частоті зовнішньої сили буде спостерігатися резонанс?

Для знаходження всіх не-0, 4х + 0, 48х + 1, 6х = 0, 8 8іп(3і)

обхідних   величин достатньо використати задане рівняння, оскільки воно повністю описує властивості системи.

Однак його потрібно переписати у канонічний формі (5.14):

іі2ж      ^аїх      2      і*0     , .

—2 + 2^— + Ш^Ж = 8іп(ші).

аі2        аі т Для цього поділимо всі члени даного рівняння на 0, 4 й отримаємо

— + 2 • 0, 6— + 22х = 2 віп(3і). аі2 аі

Із порівняння останнього виразу із канонічною формою випливає значення частоти власних коливань ш0 = 2 (рад/с), значення частоти вимушених коливань ш = 3 (рад/с) та величина коефіцієнта загасання в = 0,6 (с-).

Резонансну частоту визначимо за формулою (5.18):

UJ,       °рез —?

"рез = \/^ - 2в2 = ^22 - 2 • 0, 62 = 1, 81 ('^

5.7. Знайти частоту власних коливань системи, якщо при зменшен­ні коефіцієнта загасання коливань удвічі резонансна частота змінює­ться від рі = 3, 88 рад/с до шр2 = 3, 97 рад/с.

Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання

і

= 3, 88 рад/с,

°Р 2

= 3, 97 рад/с,

& =

= ві/2

"0—

?

Відповідно до виразу для визначення резо­нансної частоти (5.18) запишемо відповідну си­стему рівнянь:

З умови задачі //2 = ві/2, тому система набирає вигляду

2в2, 0, 5//2.

Віднімемо від другого рівняння перше й отримаємо

3

О2 = ,,2 і = "0

"22 = "02

" 2

"

Звідси виразимо / і:

/і2= 2("22

" і)

Згідно із першим рівнянням системи

"0 =      + 2//2 = 4("2 2

" і)

4"22

" і

Підставимо числові значення:

"0 =

4 3, 972  3, 882

=4 рад\

5.8. При незмінній амплітуді вимушувальної сили і*0 амплітуди ви­мушених коливань для значень частот ші = 100 е_і і ш2 = 300 е_і є однаковими. Знайти резонансну частоту шрез.

При дії вимушувальної сили із часом встановлю­ється стаціонарне значення амплітуди, що дається формулою (5.16):

*0

=

СОП8Т.,

=

100 с-і,

 

300 с-і,

Аі =

 

"ре з"

 

А =

т

Нехай частотам ші і ш2 відповідають амплітуди Аі і А2 відповідно. Оскільки за умовою Аі = А2, із урахуванням останнього співвідно­шення маємо таке:

-^0 _ -^0

Iз останнього співвідношєння випливає, що вирази під знаками ра­дикалів однакові:

К2 - и2)2 - (и2 - и2)2 = 4//2и2 - 4//2и2, (и0 - и2 - и2, + и2.)^2, - и2 + и0 -      = 4/2- и2), (и2. - и2)(2и2 - и2 - и2) = 4/2(^2 - и2), 2^2 - и2 - и2 = 4/2, - 4//2 = и2 +

и0 - 2/2 = и21+^2 . Оскільки згідно із означенням резонансної частоти коливань (5.Й

ирез = \/и2 - 2//2,

маємо кінцеву відповідь

^рез — у      2 '

Після підстановки відомих ш\ та ш2 отримаємо числове значення цієї частоти

; 1002 + 3002    оо? /рад иРез = V-2-= 223, 61 1~

5.9. Деяка точка здійснює згасні коливання за законом х = А0е_/3* 8Іп(иі + р0) із частотою и = 25 рад/с. Знайти кое­фіцієнт загасання //, якщо в початковий момент часу швидкість точки дорівнює нулю, а її зміщення від положення рівноваги в цей момент у П = 1, 02 раза менше за амплітуду.с = 25 рад/с,

v0 = О,

Ao = nxo, П = 1,02

Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання

За умовою

х = А0е_/3* 8Іп(о;і + р0).

Знайдемо із цього рівняння зміщєння в початковий момент часу х0 = х(і = 0):

х0 = А0 sin ро, оскільки за умовою Ао = г?хо маємо

— = Ао sin ро,    sin ро = -.

Знайдемо швидкість із першого рівняння як похідну за часом від координати:

v =     = —Аове"в* sin(wi + ро) + Аои;е"в* cos(wi + ро),

v = — Аое_в* (в sin(wi + ро) — иі cos(wi + ро)). Знайдемо з отриманого рівняння швидкість у початковий момент часу vо = v(t = 0):

vo = —Ао (в sin ро — и cos ро).

Оскільки за умовою задачі vo = 0, приходимо до рівняння

в sin ро = и cos ро.

Якщо ми піднесемо до другого степеня обидві частини отриманого рівняння та врахуємо співвідношення cos2 ро = 1 — sin2 ро, матимемо:

0 0 О/ 0        \ 00 000

в sin ро = и (1 — sin ро),   в sin ро = и — и sin ро,

и

sin ро + и ) = и ,    sin ро = -j^-2. Iз урахуванням раніше отриманої рівності sin ро = 1/п маємо

4 = в2І+^,   и2П2 = в2 + и2,   в2 = и2(п2 — 1), П2     в2 + и2

або остаточно виражаючи коефіцієнт загасання в:

в = сд/п2 -1.

Після підстановки відомих величин отримаємо числове значення коефіцієнта загасання

в = 25л/1, 022 - 1 = 5, 023

Задачі для самостійного розв'язування

5.10. Амплітуда коливань маятника зменшується у десять разів за 100 повних коливань. Знайти логарифмічний декремент загасання. За скільки коливань амплітуда маятника зменшилась в е разів?

5.11. Амплітуда згасних коливань спадає за 10 коливань на 1/10 частину своєї початкової величини. Період коливань Т = 0, 4 с. Знайти логарифмічний декремент та коефіцієнт загасання. Записати диферен­ціальне рівняння цих коливань.

5.12. До пружини підвісили тіло, яке розтягує її на Ах = 5 см. За­писати диференціальне рівняння коливань пружинного маятника та його розв'язок при початковій амплітуді А = 10 см, якщо через час Аі = 5 с амплітуда коливань зменшується в е разів.

5.13. Сталева кулька діаметром Б = 23 см прикріплена до пру­жини. Колова частота її коливань в повітрі ш0 = 5 с-1, в гліцерині ш = 4 с-1. Знайти в'язкість гліцерину в умовах досліду. Врахувати, що на кульку діє сила тертя Етр = б-пп-й^ (закон Стокса (3.7)), де п — в'язкість гліцерину. В'язкістю повітря та опором пружини в гліцерині знехтувати. Густина сталі р = 7800 кг/м3.

5.14. Вимушені коливання описуються диференціальним рівнян­ням о"2 х сіх

0, 4—г + 0, 48— + 1, бх = 0, 8 8іп(3і).

Через який час після припинення дії вимушувальної сили амплітуда коливань зменшиться в е разів?

5.15. Вантаж масою т = 2, 5 кг, підвішений до пружини з жорст­кістю к = 3, б • 102 Н/м, здійснює вимушені коливання під дією зов­нішньої сили і = 13, 5 зіпбі Знайти амплітуду вимушених коливань вантажу. Тертям знехтувати.

5.16. Знайти коефіцієнт загасання коливань терезів, якщо відомо, що за 10 с амплітуда зменшилася в 20 разів.

5.17. Усереднений коефіцієнт загасання тіла дорослої людини до­рівнює 0,3 с-1. Частота власних коливань тіла в лежачому положенні становить 3, 5 Гц, а в положенні стоячи — близько 8 Гц. У скільки разів зміниться резонансна частота тіла людини в різних положеннях при дії на організм інфразвуку?

5.18. До невагомої пружини підвісили вантаж, та вона розтягну­лася на Ах = 9, 8 см. З яким періодом буде коливатися цей вантаж, якщо йому надати невеликий поштовх у вертикальному напрямі? Ло­гарифмічний декремент загасання коливань А = 3,1.

5.19. За час і система встигає здійснити п коливань. За цей самий час амплітуда коливань зменшується в п разів. Знайдіть коефіцієнт за­гасання в, логарифмічний декремент загасання А і добротність системи

5.20. Коливальна система складається із пружини з коефіцієн­том жорсткості к = 10,05 Н/м та підвішеної до неї пластинки ма­сою т = 0,1 кг, яку занурено в рідину. Знайти коефіцієнт опору рі­дини, якщо відомо, що амплітуда вимушених коливань пластинки ма­ксимальна при частоті вимушувальної сили ш = 10 с-1.

5.21. Осцилятор масою т рухається за законом х = х0 8іп(ші + р) під дією вимушувальної сили і = і0 8іп(ші). Знайти коефіцієнт зага­сання осцилятора.

5.22. Згасні коливання точки відбуваються за законом х = а0е-в* 8іп(ші). Знайти амплітуду коливань і швидкість точки в момент часу і = 0, а також моменти часу, коли точка досягає крайніх положень.

5.23. Математичний маятник здійснює коливання в середовищі із логарифмічним декрементом загасання А = 1, 5. Яким буде логариф­мічний декремент загасання, якщо опір середовища збільшити в п = 2 рази? У скільки разів потрібно збільшити опір середовища, щоб коли­вання стали неможливими?

5.24. Амплітуда згасних коливань зменшується за період в 3 рази. На скільки відсотків період згасних коливань більший, ніж період при відсутності загасання?

5.25. Період згасних коливань Т = 4 с, логарифмiчний декремент загасання А = 1, 6, початкова фаза дорівнює нулю. Зміщєння точки в початковий момент часу становить 4, 5 см. Записати рівняння коли­вань і знайти зміщєння та швидкість точки в момент часу через один період після початку коливань.

5.26. Логарифмічний декремент загасання камертона, що колива­ється з частотою 100 Гц, дорівнює 0,002. За який час амплітуда коли­вань камертона зменшиться в е2 разів?

5.27. Диференціальне рівняння згасних коливань має вигляд

0, 5^2х + 0, 25^ +8х = 0. аі2 аі

Знайти коефіцієнт загасання та циклічну частоту цих коливань. За­писати відповідне рівняння згасних коливань за законом синуса або косинуса.

5.28. Амплітуда згасних коливань маятника за час і = 5 хв змен­шилася в 2 рази. За який час і2, вибравши відлік від початкового мо­менту, амплітуда зменшиться у 8 разів?

5.29. За час і = 8 хв амплітуда згасних коливань маятника змен­шилася втричі. Знайти коефіцієнт загасання в.

5.30. Логарифмічний декремент коливань маятника А дорівнює 0,003. Визначити число N повних коливань, які повинен здійснити ма­ятник, щоб амплітуда зменшилася в 2 та в 4 рази.

5.31. Тіло масою т = 5 г здійснює згасні коливання. За час і = 60 с тіло втратило 60% своєї енергії. Визначити коефіцієнт зага­сання в.

5.32. Визначити період Т згасних коливань, якщо період То вла­сних коливань системи дорівнює 1 с і логарифмічний декремент коли­вань А = 0, 628.

5.33. Знайти число N повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася в п = 2 рази. Логарифмічний декремент коливань А = 0, 01.

5.34. Коливна система здійснює згасні коливання з частотою 1000 Гц. Визначити частоту власних коливань v0, якщо резонансна ча­стота z/рез = 99В Гц.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання