Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 

5.35. Період T0 власних коливань пружинного маятника дорівнює 0,55 с. У в'язкому середовищі період T того самого маятника дорівнює 0,56 с. Визначити резонансну частоту vpe3 для цих коливань.

5.36. Кулька масою m може здійснювати гармонічні коливання зі слабким загасанням в околі точки x = 0 із власною частотою w0. У момент часу t = О, коли кулька знаходилася у стані рівноваги, до неї приклали вимушувальну силу F = F0 cos wt, яка збігається за напря­мом із віссю x. Знайти рівняння вимушених коливань кульки x(t) після встановлення стаціонарного режиму.

5.37. Визначити, на скільки резонансна частота відрізняється від частоти v0 = І кГц власних коливань системи, що характеризується коефіцієнтом загасання в = 4ОО с-1.

5.38. Визначити логарифмічний декремент коливань Л коливальної системи, для якої резонанс спостерігається при частоті, що менша за власну частоту v0 = І0 кГц на Av = 2 Гц.

5.39. Амплітуди вимушених гармонічних коливань при частотах v1 = 400 Гц і v2 = 600 Гц однакові. Визначити резонансну частоту vpe3. Загасанням знехтувати.

5.40. Гиря з масою m = О, 2 кг, що висить на вертикальній пружині з жорсткістю k = Б00 Н/м, здійснює коливання з коефіцієнтом зага­сання в = 0, 7Б с-1. Побудувати залежність амплітуди A вимушених коливань гирі від частоти w зовнішньої періодичної сили, якщо відомо, що максимальне значення зовнішньої сили F0 = 0,98 H. Для побудови графіка знайти значення A для частот: w = 0, w = 0, Бш0, w = 0, 7Бш0, w = w0, w = І, Бw0, w = 2w0, де w0 — частота власних коливань гирі.б. Хвильові процеси. Акустичні явища

6.   Хвильові процеси. Акустичні явища

Основні формули

• Рівняння плоскої пружної хвилі

.      г   /     y4

s = A cos ш [t--

v (6.1;

де в зміщення точок, що коливаються у хвилі відносно їх поло­ження рівноваги (м); А амплітуда коливань джерела хвилі (м); ш частота коливань джерела (рад/с); і час (с); у координа­та положення рівноваги будь-якої точки (м); V швидкість по­ширення хвилі (фазова швидкість) (м/с).

Об'ємна густина енергії пружної хвилі, що поширюється в речо­вині:

рА2ш2

2

де р - густина речовини (кг/м3).

(6.2)

Інтенсивність хвилі (густина потоку енергії)

І = ШрУ. (6.3)

Зв'язок інтенсивності звуку І та звукового тиску р для плоскої хвилі

І = . (6.4) 2ру v '

Виражений у белах (Б) рівень інтенсивності звуку І відносно її значення Іо

Ір £б = ~ ,   £б = 21^—, (6.5) Іо ро

де І0 рівень інтенсивності (Вт/м2), що прийнятий за початко­вий рівень логарифмічної шкали; р0 відповідний рівень звуко­вого тиску (Па).

Інтенсивність звуку І та звуковий тиск р, виражені через рівні інтенсивності іуб, що випливає із виразу (6.5):

І = Іо • 10Ьв,   р = ро • Ю0-51*. (6.6)

Записаний у децибелах (дБ) рівень інтенсивності звуку

ідв = 101§ І,    ЬлВ = 20^ Р. (6.7) І0 р0

Інтенсивність звуку І та звуковий тиск р, що визначаються з (6.7):

І = І0 • 100,1^в,   р = р0 • 100'05^В. (6.8)

Гучність

Е = к lg ■І, (6.9) І0

де к коефіцієнт пропорційності. Гучність на частоті 1 кГц

ЕБ = ЬБ = lg ■І,   Еф = Ьдв = 10lg ■І, (6.10) І0 І0

де Е гучність, що виражена у фонах.

Питомий акустичний імпеданс (хвильовий опір)

2 = рс, (6.11)

де р густина середовища (кг/м3); с швидкість поширення звукової хвилі в середовищі (м/с).

Звуковий тиск

р = Zv = рст, (6.12)

де V швидкість руху частинок середовища (м/с); 2 = рс хви­льовий опір середовища (кг/(м2-с)).

Коефіцієнт проникнення звукової хвилі

в = т, (6.13)

де І\,І2 інтенсивності звуків (Вт/м2) у першому та другому се­редовищах відповідно.

Формула Релея

в = ^ + , (6.14)

С2Р2   \ С2Р2/

де сі, рі - характеристики першого середовища; с2, р2 характе­ристики другого.

Наближене співвідношення Релея (6.14) при с2р2^>с1р1

в * 4СіРі. (6.15) с2р2

Коефіцієнт відбиття звуку при переході із одного середовища в інше

г =2Р2 - СіРЛ2 . (6.16)

2Р2 + Сірі)

Частота коливань, шо сприймається спостерігачем (ефект До­плера):

'    ^ ± vc V =-V, (6.17)

V ^ -ид

де V?, та Vд швидкості руху спостерігача та джерела пружної хвилі відносно середовища (м/с); V швидкість поширення хви­лі в цьому середовищі (м/с); V частота коливань, що випромі­нюються джерелом (Гц). Знаки згори відповідають руху спосте­рігача та джерела назустріч один одному, нижні відповідають їх руху у протилежних напрямах.

Доплерівський зсув частоти

2vo (6.1де v0 — швидкість тіла, що рухається (м/с); V — швидкість хви­лі (ультразвуку) (м/с); VI;. частота ультразвуку, що випроміню­ється генератором (Гц). Формула отримана в наближенні V ^> v0.

• Довжина хвилі (відстань, яку хвиля із фазовою швидкістю V про­ходить за один повний період коливань Т)

Л = vT. (6.19)

Приклади розв'язання задач

6.1. Джерело звуку здійснює коливання за законом х = sin 20007гі. Швидкість поширення звуку 340 м/с. Записати рівняння коливань для точки, що знаходиться на відстані y = 102 м від джерела. Втратами енергії знехтувати, хвилю вважати плоскою.

x =

sin2000nt,

v =

340 м/с,

y =

l02 м

sit)

 

(6.i)

Рівняння плоскої пружної хвилі має вигляд

s = A sin

w t

y

Джерелом пружної хвилі є коливання, рівняння

A sin ojt = sin2000nt,

звідки значення амплітуди A=1 м, а частоти w=2000n (рад/с). Отже, шукане рівняння набирає вигляду

Т

6.2. Знайти різницю фаз коливань двох точок, що знаходяться на промені на відстані Ay = 1, 75 м одна від іншої, якщо довжина хвилі А = 1 м.

s(t) = A sin w (t - v) = sin2000n(t - 0,3).

Ay = l, 75 м, Л = l м

Ap-?

момент часу знайдемо як

Згідно із рівнянням (6.1) фаза коливань записує­ться як /      у \ р = "(* " І)-

Різницю фаз коливань двох точок в один і той самий

Ар = рі - Р2 = о - ^ - оо - ^ = 02 - Уі).

- о (і - ^ = °І

V / V       V / V

Отже, формула для різниці фаз коливань двох точок, що знаходяться на одному промені, набирає вигляду

о

Ар = -Ау,

V

де Ау — відстань між точками. Використаємо формулу для періоду ко­ливань джерела (4.6):

З іншого боку, згідно з (6.19)

т = -.

V

Далі прирівнюємо ці два вирази для періодів та виражаємо цикліч-нучастоту: 2п     - 2уго

= -,   о = ——.

00        V -

Після підстановки останнього виразу у формулу для знаходження різниці фаз маємо

оо .       27го Ау 2пАу Ар = -Ау = --- = ^-,

або після підстановки числових значень

2пАу     2п 1, 75

Ар = —=-1-= 3, 5п.

6.3. Яка частота коливань, якщо найменша відстань між точками, що коливаються в однакових фазах, дорівнює Ау = 1 м. Швидкість поширення хвиль V = 300 м/с.

Ау = 1 м, V = 300 м/с

У попередній задачі отримана формула для зна­ходження різниці фаз

-?-1 Ар = 2пАу.

-

^ врахуванням (6.19), (4.6) маємо

- = vT = ^

де V — частота коливань. Отже, для різниці фаз із урахуванням остан­нього співвідношення одержуємо

2nv Ay

v

Із цього співвідношення легко отримати вираз для знаходження ча­стоти коливань уДіл

V = —т—. 2пДу

Згідно умови задачі розглядають дві найближчі точки, що колива­ються в однакових фазах. Це означає, що точки знаходяться на відста­ні, що рівна довжині хвилі А. Різниця фаз між такими точками дорівнює Д(£> = 2п. Підставляючи це значення в останню формулу, маємо

2"'       "      300 = 300 (Гц).

V =

2nAy    Ay І

6.4. Точка, що знаходиться на відстані у = 0, 5 м від джерела ко­ливань, має в момент часу і = Т/3 зміщення, що дорівнює половині амплітуди. Знайти довжину хвилі, якщо при і = 0 зміщення джерела дорівнює нулю.

У = 0, Б м,

ti = T/З,

s(ti) = A/2,

s(t = 0,y = 0) = 0

Л-?

A

= A sin ш

2 V З v

З v

Після підстановки виразу (4.6)

Із умови s(t = 0, y = 0) = 0 випливає, що рівняння хвилі (6.1) записується через синус:

s = A sin ш (t - v) .

За умовою у час t1 = T/З зсув при y = 0, Б м дорівнює s = A/2, отже, маємо

т   У A    sin ш ( T_y \

V З    v)     2,

T _ у А = п

З    v       б.

І

= arcsin

sin ш

ш

ш=

2п

в останнє співвідношення отримаємо 2п (T    y \ = п 2

2 2y = І     2y =2 І

3 - Tv = б,  Tv = з - б,

T Tv

І

= б,

Tv = 4y.

Оскільки згідно з (6.19) А = vT, маємо

A = 4y = 4 • 0, 5 = 2 (м).

6.5. Дослідження руху барабанної перетинки показує, що швид­кість коливання її ділянок є величиною одного порядку із швидкістю зміщення молекул повітря при поширенні плоскої хвилі. Виходячи з цього, визначити приблизну амплітуду коливань ділянок барабанної перетинки для двох випадків: а) поріг чутності І0; б) поріг больового відчуття Ітах. Частота звуку v = 1 кГц.

Іо = 10-

-12

Вт/м2

Іт

= 10 Вт/м2

v = 1000 Гц, v = 340 м/с, р = 1, 29 кг/м3

Ao,An

Згідно з умовою задача зводиться до розгля­ду поширення плоскої звукової хвилі у повітрі. Із амплітудою руху частинок пов'язана об'ємна гу­стина енергії пружної хвилі (6.2):

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 


Похожие статьи

Я О Ляшенко, О В Хоменко - Збірник задач з фізики з прикладами розв'язання