Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие по изучению разделов курса "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов ДонНТУ

Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики протокол № 2 от 08.10.2008 г.

Утверждено на заседании учебно-издательского совета ДонНТУ Протокол № 1 от "11" марта 2009 г.

ДОНЕЦК 2009

УДК 519.2 (075.8)

Косолапов Ю.Ф. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие по изу­чению разделов курса "Теория вероятностей и математическая статистика" / -Донецк: РВА ДонНТУ, 2009. - 159 с.

Излагаются основные понятия теории вероятностей (событие и вероят­ность, основные правила вычисления вероятностей, одномерные случайные величины, распределения Бернулли, Пуассона, нормальное, равномерное, пока­зательное, неравенство Чебышёва). Подробно рассматриваются примеры реше­ния типичных задач. Даются задания для самостоятельного решения.

Для студентов и преподавателей технических вузов.

СОСТАВИТЕЛЬ: Косолапов Ю.Ф.

РЕЦЕНЗЕНТ: кандидат физико-математических наук, доцент Косилова Е.Ф.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ ЗА ВЫПУСК:

зав. кафедрой высшей математики ДонНТУ, доктор технических наук, профессор

Улитин Г.М.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ВВЕДЕНИЕ

Человек в своей практической ддеятельности на каждом шагу встречается со случайными явлениями. Таковыми являются, например, ошибки измерения, погрешности изготовления различных изделий, отказы всевозможных техниче­ских устройств, шумы при приеме радиопередач, "болтанка" при полете на са­молете. Изучению поддаются только массовые явления - те, которые можно, по крайней мере принципиально, наблюдать много, практически неограниченное число раз. Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Методы теории вероятностей, называемые вероятностными или сто­хастическими, широко применятся в различных областях естествознания и тех­ники: в экономике, аэродинамике, гидродинамике, радиотехнике, теории управ­ления, динамике полета, теории связи, строительной механике, теории меха­низмов и машин, в технологии машиностроения, теории надежности, теории массового обслуживания, теории ошибок наблюдения, в горном деле, теории процессов управления, теории современных сложных систем и т.д.Теория веро­ятностей служит также для обоснования математической и прикладной статис­тики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при оценке качества продукции и для многих других целей.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основными (первичными) понятиями теории вероятностей являются: ис­пытание, событие, вероятность события.

Под испытанием (опытом) понимают осуществление некоторого комп­лекса условий. Событие - это результат испытания. Принято обозначать собы­тия прописными латинскими буквами А, В, С,... . Различают события достовер­ные - обязательно происходящие при каждом испытании, невозможные - не могущие произойти ни при одном испытании, и случайные, которые при каж­дом испытании могут как произойти, так и не произойти. Два события называ­ется совместными, если они могут произойти вместе, и несовместными - в противном случае. Говорят, что несколько событий образуют полную группу, если при каждом испытании происходит по крайней мере одно из них. Два не­совместных события, образующих полную группу, называются противопо­ложными. Событие, противоположное событию А, обозначается А (читается "не А", "противоположное для А").

2. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Относительной частотой (частостью, иногда частотой) появления некото­рого события А называется отношение числа N (А) появлений этого события к числу N произведенных испытаний, т.е. N (А)/ N.

А. Статистическое определение вероятности события А.

Если при проведении серий из большого количества испытаний относи­тельные частоты события А в каждой серии мало отличается друг от друга, то говорят, что событие А имеет вероятность Р(А). За значение вероятности (так называемой статистической вероятности) берут ту постоянную величину, около которой группируются наблюдаемые значения относительной частоты. Иногда в качестве приближенного значения вероятности используют значение одной из относительных частот.

Б. Классическое определение вероятности события А.

Пусть при каждом испытании может наступить одно из п попарно несо­вместных равновозможных событий, образующих полную группу. Такие собы­тия называются элементарными или элементарными исходами, или просто шансами. Шанс называется благоприятствующим событию А, если событиеобязательно происходит при наступлении шанса. Вероятностью события А на­зывается отношение количества т благоприятствующих ему шансов к общему количеству п шансов:

Р(А) = т. ( 1 )

3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

А. Основной принцип комбинаторики. Если первое действие А1 может быть осуществлено п1 способами, действие А2 - п2 способами, действие Ак -пк способами, то все эти действия вместе можно осуществить п1- п2 ■... пк спо­собами.

Б. Простейшие соединения. Несколько элементов, объединенных в одно множество (или одну группу), образуют соединение. Мы ограничимся простей­шими из них - размещениями, перестановками и сочетаниями.

Пусть имеется какое-либо множество М , содержащее п элементов.

Размещением из п элементов по к (элементов в каждом) называется про­извольное к-элементное упорядоченное подмножество множества М .

Два размещения из п по к отличаются друг от друга или хотя бы одним элементом, или порядком расположения элементов.

Количество Акп всех размещений из п элементов по к определяется фор­мулой

Акп = п ■(п-1)-(п-2)-...■(п-(к-1)), ( 2 )

правая часть которой содержит к сомножителей. Например, А85 =8-7-6-5-4 = 7620.

Перестановкой из п элементов называется соединение, которое содержит все п элементов множества М, но расположенных в определенном порядке.

Две перестановки из п элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.

Очевидно, перестановку из п элементов можно рассматривать как разме­щение из п элементов по п.

Количество Рп всех возможных перестановок из п элементов равно

рп = Ап = п -(п -1)-(п-2)-...-3-2-1 = 1-2-3-...-(п -2)-(п-1)-п = п!     ( 3 ) Например, Р5 =5! = 1-2-3-4-5 = 120 .

Сочетанием из п элементов по к (элементов в каждом) называется произ­вольное ^-элементное (неупорядоченное) подмножество множества М .

Два сочетания из п по к отличаются друг от друга хотя бы одним элемен­том.

Количество Ск всех сочетаний из п элементов по к дается формулой

Ск = 4 = п-(п-1)-(п-2)-...-(п-(к-1)) =     п! )

п    Рк к! к! (п - к)!' К }

Н С5   8-7-6-5-4   8-7-6   С з 56

Например, С8 =-=-= С8 =56.

8    1-2-3-4-5    1-2-3 8

Рассуждая так же, как в предыдущем примере, можно доказать, что

Сп    Сп .

Пример 1. Любые 10 выпускников группы, состоящей из 25 выпускников, представляют собой сочетание из 25 элементов по 10. Эти же 10 выпускников, направленных на разные места работы, представляют собой размещение из 25 элементов по 10, а также перестановку из 10 элементов.

Пример 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков.

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что при одном бросании кости выпадает четное число очков. Общее число шансов п = 6, а количество благоприятствующих шансов т = 3. На основании классического определения вероятности

Р(А)= т = 3 = 1 = 0.5.

п    6 2

Пример 3. Из 10 карточек с цифрами 0, 1, 2,..., 9 выбираются наудачу три. Найти вероятность того, что из них можно составить число 257.

Решение. Элементарным событием (шансом) является здесь произвольная тройка выбранных карточек, представляющая собой сочетание из 10 элементов по 3. Поэтому общее количество шансов равно п = С130 = 120. Количество бла­гоприятствующих шансов равно т = 1, так как число 257 может получиться единственным способом. Искомая вероятность равна

т 1 р = т =       _ о.01.

п 120

Пример 4. Пусть в условиях примера 3 не просто выбираются три карточ­ки, но и последовательно кладутся на стол в ряд. Найти вероятность того, что при этом получится то же число 257.

Решение. Элементарным событием (шансом) является здесь произволь­ная, но упорядоченная тройка выбранных карточек, то есть размещение из 10 элементов по 3. Поэтому количество благоприятствующих шансов остается та­ким же, как в предыдущей задаче ( т 1 ), но общее количество шансов другое, п = А130 = 10- 9 -8 = 720. Следовательно, искомая вероятность равна

т1

Р = =-* 0.001.

п 720

Пример 5. На каждые 100 деталей, изготавливаемых некоторым заводом, в среднем приходится 3 бракованных. Наудачу выбирается три детали. Найти вероятность того, что среди них будет одна бракованная.

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется одна бракованная (и две стандартных).

а) Элементарным событием (шансом) является здесь произвольная тройка выбранных деталей, а именно сочетание из 100 элементов по 3. Поэтому общее количество шансов равно количеству всех сочетаний из 100 элементов по 3,п   С3     100 99 98 161700

п =        =     1-2-3     = 161700 .

б) Чтобы найти число шансов, благоприятствующих событию А, примем во внимание, что две стандартных детали (сочетание из 97 имеющихся стан­дартных деталей по 2) можно выбрать С927 способами, а одну бракованную -тремя способами. На основании основного принципа комбинаторики две стан­дартных и одну бракованную деталь можно выбрать 3 - С927 способами. Следо­вательно, количество благоприятствующих шансов равно

97 - 96

т = 3- С927 = 3-^^ = 13968.

в) По классическому определению вероятности искомая вероятность со­бытия А равна

Г(А) = т = i3968 = 0.86 .

п 161700

Пример 6. В партии имеется 20 деталей, из них 6 бракованных. Наудачу взято 10 деталей. Какова вероятность того, что среди выбранных - 4 бракован­ных (а следовательно, 6 стандартных)?

Решение. Обозначим буквой А событие, вероятность которой нужно най­ти (среди 10 взятых наудачу деталей 6 стандартных и 4 бракованных).

а) Каждые 10 наудачу взятых деталей - это сочетание из 20 по 10. Следо­вательно, 10 деталей из 20 можно взять способами, и общее количество шансов, связанных с событием А, равно

б) Каждые 4 бракованные детали - это сочетание из 6 элементов по 4, так как бракованные детали можно выбрать из 6 имеющихся. Следовательно, 4

бракованные детали можно взять С64 способами.

Среди 10 взятых деталей должно быть, кроме 4 бракованных, еще 6 стан­дартных, представляющих собой сочетание из 14 элементов по 6, так как стан­дартные детали можно выбрать из 14 имеющихся. Поэтому 6 стандартных де­талей можно взять С164 способами.

10 деталей, среди которых 4 бракованных и 6 стандартных, на основании основного принципа комбинаторики можно взять С64 - С164 способами. Следова­тельно, количество шансов, благоприятствующих событию А, равно

т = С64- С4.

в) На основании классического определения вероятности

р(А) = т = С6-С" *0.24 .

п С10

4. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ

Суммой А + В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдет по крайней мере одно из них (или только А, или только В, или оба вместе).

Произведением АВ событий А, В называется событие, состоящее в том, что оба события происходят вместе (и А, и В).

Оба определения легко переносятся на случай любого количества со­бытий.

Часто оказывается удобным представлять некоторое событие в виде сум­мы произведений более простых событий. Например, сумму двух событий можно представить следующим образом:

А + В = АВ + АВ + АВ, ( 5 )

причем слагаемые АВ, АВ, АВ попарно несовместны. Первое из них означает,

что происходит событие А, а событие В не происходит, второе - что происхо­дит событие В, но не происходит А, третье - что оба события происходят вме­сте.

Вероятность суммы двух несовместных или нескольких попарно несов­местных событий разна сумме вероятностей этих событий: если А и В - несов­местны, то

Р(А + В ) = Р(А)+ Р(В); ( 6 )

если события А, В,..., С попарно несовместны, то

Р(А + В +... + С )= Р(А)+ Р(В)+... + Р(С). ( 7 )

Легко показать, что сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1 (так как сумма таких событий - досто­верное событие, вероятность которого равна 1). В частности, сумма вероятно­стей противоположных событий равна 1,

Р(А)+ Р )=1. ( 8 )

Последний факт часто используется в теории вероятностей, когда вместо веро­ятности одного события удобнее найти вероятность противоположного собы­тия и вычесть последнюю из единицы,

Р(А) = 1 (А). ( 9 )

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятно­сти одного события на условную вероятность другого:

Р( АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В )Р(А/В). ( 10 )

Здесь Р / А ) - условная вероятность события В, то есть вероят­ность В при условии, что произошло событие А. Соответственно, Р(А/В) - ус­ловная вероятность события А (при условии, что произошло событие В).

Вероятность произведения трех и большего количества событий опреде­ляется аналогично. Например,

Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(<С/АВ), Р(АВСВ) = Р(А)Р(В/А)Р(<С/АВ)р(Б/АВС).( 11 )

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления (или ненаступления) другого. Несколько событий называются независимыми (точнее - независимыми в совокупности), если ве­роятность одного из них не зависит от наступления (или ненаступления) любо­го из остальных и произведения любого количества остальных событий.

Вероятность произведения нескольких независимых событий равна про­изведению их вероятностей. Так, если события А, В или А, В, С независимы, то

p(ab ) = p(a)p(b ),p(abc )=p(a)p(b )p(c ). ( 12 )

Пример 1. В ящике имеется 10 стандартных и 8 бракованных деталей. По­очередно берут наудачу 3 детали (без возвращения деталей обратно). Найти ве­роятность того, что все извлеченные детали стандартны.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа