Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

в зависимости от множества всех возможных значений случайной величины. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Случайная величина

! = !-м(!) = !-(47 )

называется отклонением случайной величины ! от ее математического ожи­дания. Математическое ожидание отклонения равно нулю,

М

4 = м (4- м (4)) = м (4)+м (- м (4)) = м (4)-м (4) = о,

V j

поэтому его часто называют центрированной случайной величиной, соответ­ствующей случайной величине £.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины £ называется математи­ческое ожидание квадрата отклонения £ от своего математического ожидания,

Го 2Л

б(4) = В4 = м\4 \ = м((4-м(4))2)=м((4-)2). (48 )

Другими словами, дисперсия Э(4) является математическим ожиданием

функции г] = <р(4) = (4 - м(4))2 случайной величины 4, и мы легко получаем вычислительные формулы для дисперсии на основании формул (45), (46). Для дискретной случайной величины 4 формула (45) дает

0(£)=^(х1 - М(£))2 рг = (х, - М(£))2 р1+(х2 - М(£)У р2 +... + (хг - Ы(£))2 рп. Для непрерывной случайной величины £ по формуле (46) имеем

Ь О

Б(£)= ^(х-М(£))2/(х)ск   или   Б(£)=      -М(£))2/(х)с1х .

Однако наиболее удобной формулой для вычисления дисперсии явля­ется формула, являющаяся непосредственным следствием формулы (48), а именно:

Б(£) = В£ = М (£2)-М 2(£). (49 )

В соответствии с ней дисперсия случайной величины £ равна разности матема­тического ожидания М£2^) ее квадрата £2 и квадрата М2(£) ее математиче­ского ожидания М (£).

Среднеквадратическим отклонением &(£) = случайной величины £ называется квадратный корень из ее дисперсии,

7(£) = =^1^ =Щ£). (50 )

И дисперсия, и среднеквадратическое отклонение случайной величины характеризуют величину рассеяния (разброса) ее значений относительно ее ма­тематического ожидания. При этом размерность среднего квадратического от­клонения совпадает с размерностью, а размерность дисперсии равна квадрату размерности самой случайной величины.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю,

D(C) = 0,   C - const.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, предвари­тельно возведя его в квадрат,

D(C ■£) = C2- D(£), C - const.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий,

D(£ + Ч +... + £)= D(£) + D(rj)+... + D(C). В терминах средних квадратических отклонений это свойство можно предста­вить следующим образом:

у{£ + П +... + £)=<Jсу1 {£) + у2{пГ+... + v2{£).

Моменты. Асимметрия. Эксцесс

Начальным моментом к-го порядка случайной величины £ называется математическое ожидание ее к-й степени,

ак = ак £) = М). (51 )

Например, математическое ожидание случайной величины является ее начальным моментом первого порядка,

М £) = ах£).

Центральным моментом к-го порядка случайной величины £ называет­ся математическое ожидание к-й степени ее отклонения от своего математиче­ского ожидания,

Мк = Мк (£) = М (£к)= М ((£-М (£))к). (52 )

Например, дисперсия случайной величины является ее центральным мо­ментом второго порядка,

£>(!) = .

На основании формул (51), (52), в которых нужно положить

ц =      =      М (!)), центральный момент &-го порядка вычисляется по формуле

^(!)=]►>, -М(£))кр1 (53 )

г=1

для дискретной случайной величины и

Ь да

Мк (!) = |(х - М(!))Дх>&   или   ^ (!) =|(х - М(£)У/(х)сЬ      (54 )

а -да

для непрерывной.

В теории вероятностей, наряду с математическим ожиданием и дисперси­ей (или среднеквадратическим отклонением) случайной величины !, наиболее часто используются ее центральные моменты третьего и четвертого порядков /л3 (!), /л4 (!) и производные от них безразмерные величины - асимметрия

As ( 55 )

и эксцесс

Ех = Ех(£) = ^{-3.

(!)

(!) ( 56 )

Если распределение случайной величины симметрично относительно своего математического ожидания, то ее асимметрия равна нулю. О вероятно­стном смысле эксцесса мы скажем позже, рассматривая так называемое нор­мальное распределение, эксцесс которого равен нулю.

Пример 1. Найти числовые характеристики дискретной случайной вели­чины, которая задана таблицей распределения (см. пример 1 раздела 12)

!

1

2

3

4

 

0.625

0.268

0.089

0.018

!2

1

4

9

16

р

0.625

0.268

0.089

0.018

Рядом с таблицей распределения заданной случайной величины мы по­местили таблицу распределения ее квадрата. По формуле (41)

М (!) = £ хгрг =1 0.625 + 2 0.268 + 3 0.089 + 4 0.018 = 1.500.

По формуле (45)

М(!2)=£х2рг =12 - 0.625 + 22 - 0.26 8 + 32 - 0.0 89 + 42 - 0.0 1 8 = 2.7 86.

=1

По формуле (49)

£>(!) = М (!2)-М 2(!) = 2.786-1.5002 = 0.536. По формуле (50)

= у[Щ) = ^/0.536 = 0.732.

По формуле (53)

^3(!) = £(хг -М(!))3рг = (1-1.5)3 -0.625 + (2-1.5)3 -0.268 +

=1

+ (3-1.5)3-0.089 + +(4-1.5)3-0.018 = 0.539.

 

 

хгрг

х2

 

У, = х г -

- М (!)

У3

 

У,4

 

1

0.625

0.625

1

0.625

-0.5

-0.125

-0.078

0.063

0.039

2

0.268

0.536

4

1.072

0.5

0.125

0.036

0.063

0.017

3

0.089

0.267

9

0.801

1.5

3.375

0.300

5.063

0.451

4

0.018

0.072

16

0.288

2.5

15.625

0.281

39.063

0.703

Е

1.00

1.500

М (!)

 

2.786

М (!2)

 

 

0.539

 

1.21

^4(!)

По формуле (55)

As = А*(!) = Щ = 0.539 =1.375 . 4 '   а3(!) 0.7323

По формуле (53)

^4(!) =        -м(£))4рг = (1 -1.5)4 ■ 0.625 + (2-1.5)4 ■ 0.268 +

I=1

+ (3-1.5)4 0.089 + +(4-1.5)4 0.018 = 1.210.

По формуле (56)

Ех = Ех(Е) = ^-3 = 2^-3 = 1.216. 4 '   <т4(£) 0.7324

Для удобства можно свести все вычисления в одну таблицу Пример 2. Дискретная случайная величина Е с известными математиче­ским ожиданием М (Е) = 3.9 и среднеквадратическим отклонением сг(е) = 0.3 может принимать только два значения х1, х2, причем х1 < х2, и вероятность меньшего значения известна, Р= х1)= 0.1. Найти закон распределения слу­чайной величины.

Так как Р(| = х1)=0.1, Р(| = х2)=1-Р(| = х1)= 1-0.1 = 0.9, то решение задачи сводится к нахождению х1, х2.

На основании формул (41), (45), (55), (50) имеем

М(Е) = 3.9 = 0.1х1+0.9х2, £>(!) = сг2(£)=0.09 = М(£2)-М2(£) =

= 0.Ц2 +0.9х22 -3.92, 0.1х2 +0.9х22 = 0.09+ 3.92 = 15.3. Следовательно, мы должны решить систему уравнений относительно х1, х2,

0.1х1+0.9х2 = 3.9, Г х1 + 9х2 = 39, Г      х1 = 39-9х2,       Г   х1 = 39-9х2, ^0.1х2 + 0.9х22 =15.3; {х2 + 9х22 = 153; {(39 - 9х2)2 + 9х22 = 153; [5х22 - 39х2 + 76 = 0. Квадратное уравнение дает два значения х2, именно 4 и 19/5, которым соответ­ствуют два значения х1, а именно 3 и 24/5. Условию задачи удовлетворяют то­лько значения х1 = 3 и х2 = 4 .

Пример 3. Доказать, что математическое ожидание, дисперсия и средне-квадратическое отклонение распределения Бернулли соответственно равны

М (Е) = пр,   £>(£)= прд,   ст(Е)=4Прд ( 57 )

■Количество Е успехов в п независимых испытаниях можно представить в виде суммы п независимых случайных величингде е - количество успехов в г-м испытании. Распределения е и !г2 задаются таблицами распределения

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа