Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

 

1

0

 

1

0

 

P

g = 1 -Р

р,

р

g = 1 - р

Отсюда

М ) = 1- р + 0- д = р, М 2)=1-р + 0- д = р, ) = М (#)-М 2(£ )= р - р 2= рд На основании свойств математического ожидания и дисперсии получаем

M (£) = M (<* + £? +... + ^ ) = M       M (£?)+... + M    )= np,

D(<*) = D& + £? +... + En) = D(!?)+... + D(!„)= npg

Пример 4. Доказать, что математическое ожидание и дисперсия распре­деления Пуассона с параметром a равны

Mе) = D(E) = a. (58 )

■Для доказательства достаточно, на основании сказанного в разделе 11, перейти в формулах (57) к пределу при n оо, р 0 при условии, что произ­ведение пр = const = a. Получим

lim   M(е) =   lim   пр = a;     lim   D(e) =   lim   npg =   lim   a(l - р)= a .■

n—», p—0 n—»<ю, p—0 n—»оо, p—0 n—», p—0 n—»<ю, p—0 np=a np=a np=a np=a np=a

Пример 5. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.95. В каждой партии содержится 10 изделий. Сколько партий в среднем содержат по 9 стандартных изделий, если проверке подлежит 100 партий?

Сначала найдем вероятность p = P10(9) того, что наудачу проверенная

партия содержит 9 стандартных изделий. По формуле Бернулли (вероятность 9 успехов в 10 независимых испытаниях с постоянной вероятностью 0.95 успеха) p = P10(9) = Cf0 • 0.959 ■ 0.051 = С;0 ■ 0.959 ■ 0.051 * 10 ■ 0.6302■ 0.05 * 0.3151. Теперь нужно найти математическое ожидание случайной величины Е -количества партий с 9 стандартными изделиями из 100 проверяемых партий.

Имеем п = 100 независимых испытаний с постоянной вероятностью р = 0.3151 успеха (появления партии с 9 стандартными изделиями). Так как случайная ве­личина е имеет распределение Бернулли, то ее математическое ожидание по формуле (63) равно

М (Е) = пр = 100-0.3151 = 31.51*31.

Таким образом, из подлежащих проверке 100 партий в среднем 31 партия содержит 9 стандартных изделий.

Пример 6. Говорят, что непрерывная случайная величина е имеет рав­номерное распределение на интервале < а, Ь >, если плотность ее распределе-

ния

С = сот1 на < а, Ь >,

0

вне < а, Ь >

Доказать самостоятельно, что С

Ь - а

на < а, Ь >, вне < а, Ь >,

Ь - а '    '    Нх) =

0

и что

0 при х < а, х - а

при а < х < Ь, (см. рис. 1 а, б).

Ь - а 1      при х > а

Найти далее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое от­клонение равномерного распределения. По формуле (43)

Ь Ь

М (е) = | х/ )с1х = | х

1

Ь - а       Ь - а

Ь

1х

Ь - а 2

Ь

Ь - а     а + Ь

2- Ь) 2

По первой из формул (46)

М (е2)= | х2 / )йх = |

Ьх

1

Ь

I

Ь - а       Ь - а

а а

Поэтому по формулам (49), (50)

а 2+ аЬ + Ь2 С

х йх

1    х3

Ь - а 3

Ь    Ь3- а3    а2 + аЬ + Ь

3 - Ь)

3

б(е) = м (е2)-м 2(е) =

3

а + Ь у_(Ь - а )2, ^^ТДЕ)-Ь - а

2

V ^ у

1

2

1

1

а

а

ос

Рис. 1 а Рис. 1 б

Ответ. Для равномерного распределения Е на интервале < а, Ь > имеем

М(Е) = а+Ь; т = ^; "(Е)= Ь

(59 )

/ (х)

2  ' 12   ' 2,13'

Пример 7. Говорят, что непрерывная случайная величина Е имеет пока­зательное (экспоненциальное) распределение, если плотность ее распределе­ния дается формулой

Хв , если х > 0, 0,     если х <0.

Здесь Х - некоторый положительный параметр. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение по­казательного распределения. Доказательство того, что

[1в~Х, если х > 0, 0,     если х < 0,

предоставляем учащимся. Графики функций у = /(х), у = Р(х) изображены на

рис. 2 а, б. Ограничимся нахождением названных числовых характеристик. По формуле (44)

Су = в '^ск,

Р ) =

М (Е)= I х/  )сСх = х| хв сСх

и = х,

Си = сх,   у = | в ХСх

1

=--в

Х

-Ах

Я

-(хе с +  е~Ъхёх

о Яо

Ііт хе Я = Ііт

х

„Ах

Ііт (х ), = Ііт   — = О

=- ЯИГ=-е-і)=Я; м(£)=

= I е =

-Я

0\ х о і

Рис. 2 а Рис. 2 б

По формуле (46) в результате двух интегрирований по частям (с аналогичным использованием правила Лопиталя во внеинтегральных членах) находим, что

да

М (Е2)= Я| х2 е ~Яхйх = _2_

Я2"

откуда

В(Е) = М (Е2)-М 2(Е) = _2_

ЯЯ

1

ЯЯ ;

Следовательно, для показательного распределения с положительным парамет­ром Х математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение совпада­ют и равны

-

Я

(60 )

15. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

о

2

Случайная величина £ называется нормально распределенной, если плотность ее распределения определяется формулой

/(х)_-т=- е 2а2 . (61 )

Здесь параметр а представляет собой математическое ожидание, а положитель­ный параметр а - среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал < а, В > (с концами а, В) дается формулой

Р(£є< а, В >) = Ф(х2)-Ф(хх), (62 )

где

_ а - а       _ В - а (63 )

а а

а

Ф(х )_-/=Г е"т ^ (64 )

уже известная нам функция Лапласа.

Из формул (62) - (64) легко выводится следующая формула

/ ч (Є 1

 < р)_2ф -, (65 )

v а )

дающая вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины Е от ее математического ожидания а меньше положительного числа є .

Если, в частности, є — За, то из формулы (65) следует, что

Р - а < за) — 2фГ—1 _ 2Ф(з) _ 0.997з, или Р(£ є< а - за, а + за >) _ 0.997з.

Полученный результат выражает так называемое «правило трех сигм»: с вероятностью 0.9973 все значения нормально распределенной случайной вели­чины находятся на интервале < а -За, а + За >.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа