Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

Нормальное распределение очень часто встречается на практике. Напри­мер, нормально распределены:

1. Ошибки измерения физических величин.

2. Погрешности размеров изготовляемых изделий.

3. Сами размеры изделий при хорошо налаженном процессе производст­ва.

Пример 1. Валик считается стандартным, если погрешность, допущенная при выточке его диаметра, не выходит за пределы - 0.03 мм, 0.03 мм. Средний размер и среднеквадратическое отклонение диаметра валика соответственно равны 11.96 мм и 0.015 мм. Найти процент изготавливаемых стандартных ва­ликов.

Пусть случайная величина Е представляет собой диаметр валика. В силу вышесказанного можно считать ее нормально распределенной с параметрами а = М) = 11.96, с = с(Е) = 0.015, и требуется найти вероятность того, что

|е- м (е) = - а < 0.03.

По формуле (71) имеем (при е = 0.03, с = 0.015)

Р - а < 0.03) = 2Ф = 2Ф(2) = 2 ■ 0.4772 = 0.9544.

у0.015 у

Таким образом, более 95 процентов изготавливаемых валиков стандарт­ны. Отметим, что заданное значение среднего размера диаметра валика оказа­лось для решения задачи излишним.

Пример 2. Рост взрослого мужчины Е является случайной величиной, распределенной нормально с параметрами а = 170 см,с =10 см. Вычислить ве­роятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных 5 мужчин будет иметь рост от 160 см до 175 см.

Сначала найдем вероятность того, что рост наудачу взятого мужчины на­ходится в пределах 160 см до 175 см. По формулам (62), (63) для а = 170, с =10,

а = 160, В = 175 имеем

= 160-170 = 175-170 5

УС*     1,      — — 0.5,

1       10 10 Ф(сс1)= ф(-1)= (1) = -0.3413, Ф(сс2)= Ф(0.5) = 0.1915,

Р(160< Е <175) = Ф(х2)-Ф(с1)=0.1915-(-0.3413)= 0.5328.

Пусть, далее, случайная величина Е - количество мужчин из взятых 5, рост которых находится в пределах 160 см до 175 см. По формуле Бернулли, в которой нужно положить п _ 5, р _ Р(і60 < Е < 175) _ 0.5З28, ц _ 1 - р _ 0.4672, получаем

Р > 1) _ 1 - Р _ 0) _ 1 - С50р0ц5 _ 1 - 0.46725 * 1 - 0.022З _ 0.9777.

Пример 3. Все значения нормально распределенной случайной величины с вероятностью 0.9973 лежат на интервале (- З, 9). Найти ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

На основании правила «трех сигм» имеем а а _ -З, а + За _ 9, откуда 2а _ 6, а _ З, а _ 2.

Пример 4. Результаты Е измерения расстояния между двумя населенны­ми пунктами подчиняются нормальному закону с параметрами а _ 20 км и а _ 500 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 19 км и не более 21 км.

По формулам (62), (63)

Р(19< Е <21)_ Ф

21-20 0,5

Ф 19-20 0,5

_ Ф(2)- Ф(- 2) _(2) _ 0.9544.

16. СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН

Пример 1. Две независимые случайные величины Е, Ц заданы своими таблицами распределения

Е

-1

0

2

3

 

0.2

0.3

0.1

0.4

ц

-2

1

3

4

 

ру3

0.1

0.2

0.4

0.3

 

Найти таблицу и функцию распределения суммы С = Е + ц этих случайных ве­личин. Найти далее математические ожидания, дисперсии и средние квадрати-ческие отклонения случайных величин Е, Ц и их суммы С = Е + ц .

Решение. Сумма случайных величин может принимать следующие значе­ния: -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (суммы всех пар возможных значений случайных величин Е, Ц). Найдем вероятности значений суммы С = Е + Ц, используя при этом независимость величин Е,ц .

А. Р= -3) = Р((Е = -1)(ц = -2)) = Р = -1= -2) = 0.2 0.1 = 0.02; аналогично

р = -2) = Р((Е = 0)(ц = -2)) = Р = 0)р(ц = -2) = 0.3 0.1 = 0.03, Р = 2) = Р((Е = -1)(ц = 3)) = Р= -1= 3) = 0.2 0.4 = 0.08, р= 5) = Р((Е = 2)(ц = 3)) = Р= 2= 3) = 0.1 0.4 = 0.04.

Б.

-1Хц = 1)+(Е = 2Хц = -2)) = Р((Е = -1)(ц = Р((Е = 2= -2)) = -1)Р= 1) + Р= 2)Р= -2) = 0.2 ■ 0.2 + 0.10.1 = 0.05;

Р= о) = р((е

= Р =

аналогично

р= 1)=р((Е = о)(ц = 1)+ = 3)(ц = -2))=р((е = о)(ц = 1))+р((е = 3)(ц = -2))=

= Р= 0)р(ц = 1)+Р= 3= -2) = 0.3 ■ 0.2 + 0.4 ■ 0.1 = 0.10,

Р = 4) = р((Е = 0)(ц = 4)+= 3)(ц = 1)) = р((Е = о)(ц = 4))+р((Е = 3)(ц = 1)) = = Р= 0)р(ц = 4)+Р= 3= 1) = 0.3 ■ 0.3 + 0.4 ■ 0.2 = 0.17,

Р = 6) = р((Е = 2)(ц = 4)+= 3)(ц = 3)) = р((Е = 2)(ц = 4))+р((Е = 3)(ц = 3)) = = Р= 2= 4)+Р= 3= 3) = 0.1 ■ 0.3 + 0.4 ■ 0.4 = 0.19.

В.

Р = 3) = р((Е = -1)(ц = 4) + = 0)(ц = 3) + = 2)(ц = 1)) = = Р((Е = -1)(ц = 4))+Р((Е = 0)(ц = 3))+Р((Е = 2)(ц = 1)) = = Р= -1= 4)+р(е = о= 3)+Р= 2= 1) = = 0.2 0.3 + 0.3 -0.4 + 0.1-0.2 = 0.20. Сводя эти результаты в таблицу, для искомой суммы случайных величин

получим

С

-3

-2

0

1

2

3

4

5

6

7

 

0.02

0.03

0.05

0.10

0.08

0.20

0.17

0.04

0.19

0.12

Функция распределения суммы С = Е + ^

О, если г < -3, 0.02, если -3< г <-2, 0.02 + 0.03 = 0.05, если - 2 < і < 0, 0.05 + 0.05 = 0.10, если 0 < і < 1, 0.10 + 0.10 = 0.20, если 1 < і < 2, 0.20 + 0.08 = 0.28, если 2 < і < 3, 0.28 + 0.20 = 0.48, если 3 < і < 4, 0.48 + 0.17 = 0.65, если 4 < і < 5, 0.65 + 0.04 = 0.69, если 5 < і < 6, 0.69 + 0.19 = 0.88, если 6 < і < 7, 0.88 + 0.12 = 1, если і >7. Переходим к нахождению числовых характеристик случайных величин

£ Т] и ^ = е+ ].

М {е) = {-1)-0.2 + 0-0.3 + 2-0.1 + 3-0.4 = 1.2, М {<е2)= 1-0.2 +0-0.3 +4-0.1 +9-0.4 = 4.2,

0(£) = М(£2)-М2(£) = 4.2-{1.2)2 = 2.76,  ст(Е) = Щ£) * 1.66; М ])=(-2)-0.1 + 1-0.2 + 3-0.4 + 4-0.3 = 2.4 , М (т]2)= 4-0.1 + 1-0.2 +9-0.4 + 16-0.3 = 9.0 0(т]) = М (т]2)-М 2{т]) = 9.0 - (2.4)2 = 3.24,  а]]]) = ТОЇ) = 1.80. По свойствам математического ожидания и дисперсии сразу получаем М(С) = М(Е) + М( ]]) = 3.6;  О(С) = О(Е) + О( ]) = 6.0;   а(С) = 70(0 * 2.45. Проверим полученный результат непосредственными вычислениями. Прежде всего

М )=(-3)-0.02 + (-2)-0.03 +0-0.05 + 1-0.10+ 2-0.08+ 3-0.20+ 4-0.17 + + 5-0.04 + 6-0.19 + 7-0.12 = 3.6; М (с) = 3.6 = М (|)+М (]).

Далее, закон распределения квадрата случайной величины £2 дается таблицей (см. следущую страницу). Поэтому

М (с2)= 0-0.05 + 1-0.10 + 4-0.11 + 9-0.22 + 16-0.17 + 25-0.04 +

= 36 0.19 + 49 0.12 = 18.96, £>() = М(С2)-М2(С)= 18.96-(3.б)2 = 6.0; £>(£) = 6.0 = £>(Е)+£>(ц) сг(£)* 2.45

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа