Статьи

Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 12

Страницы:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Нормальное распределение очень часто встречается на практике. Например, нормально распределены:

1. Ошибки измерения физических величин.

2. Погрешности размеров изготовляемых изделий.

3. Сами размеры изделий при хорошо налаженном процессе производства.

Пример 1. Валик считается стандартным, если погрешность, допущенная при выточке его диаметра, не выходит за пределы - 0.03 мм, 0.03 мм. Средний размер и среднеквадратическое отклонение диаметра валика соответственно равны 11.96 мм и 0.015 мм. Найти процент изготавливаемых стандартных валиков.

Пусть случайная величина Е представляет собой диаметр валика. В силу вышесказанного можно считать ее нормально распределенной с параметрами а = М(Е) = 11.96, с = с(Е) = 0.015, и требуется найти вероятность того, что

|е- м (е) = \е- а < 0.03.

По формуле (71) имеем (при е = 0.03, с = 0.015)

Р(Е - а < 0.03) = 2Ф = 2Ф(2) = 2 ■ 0.4772 = 0.9544.

у0.015 у

Таким образом, более 95 процентов изготавливаемых валиков стандартны. Отметим, что заданное значение среднего размера диаметра валика оказалось для решения задачи излишним.

Пример 2. Рост взрослого мужчины Е является случайной величиной, распределенной нормально с параметрами а = 170 см,с =10 см. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных 5 мужчин будет иметь рост от 160 см до 175 см.

Сначала найдем вероятность того, что рост наудачу взятого мужчины находится в пределах 160 см до 175 см. По формулам (62), (63) для а = 170, с =10,

а = 160, В = 175 имеем

= 160-170 = 175-170 5

УС* — — 1, — — 0.5,

1 10 10 Ф(сс1)= ф(-1)= -Ф(1) = -0.3413, Ф(сс2)= Ф(0.5) = 0.1915,

Р(160< Е <175) = Ф(х2)-Ф(с1)=0.1915-(-0.3413)= 0.5328.

Пусть, далее, случайная величина Е - количество мужчин из взятых 5, рост которых находится в пределах 160 см до 175 см. По формуле Бернулли, в которой нужно положить п _ 5, р _ Р(і60 < Е < 175) _ 0.5З28, ц _ 1 - р _ 0.4672, получаем

Р(Е > 1) _ 1 - Р(Е _ 0) _ 1 - С50р0ц5 _ 1 - 0.46725 * 1 - 0.022З _ 0.9777.

Пример 3. Все значения нормально распределенной случайной величины с вероятностью 0.9973 лежат на интервале (- З, 9). Найти ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

На основании правила «трех сигм» имеем а -За _ -З, а + За _ 9, откуда 2а _ 6, а _ З, а _ 2.

Пример 4. Результаты Е измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчиняются нормальному закону с параметрами а _ 20 км и а _ 500 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 19 км и не более 21 км.

По формулам (62), (63)

Р(19< Е <21)_ Ф

21-20 0,5

Ф 19-20 0,5

_ Ф(2)- Ф(- 2) _ 2Ф(2) _ 0.9544.

16. СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН

Пример 1. Две независимые случайные величины Е, Ц заданы своими таблицами распределения

-1

0.2

0.3

0.1

0.4

-2

ру3

0.1

0.2

0.4

0.3

Найти таблицу и функцию распределения суммы С = Е + ц этих случайных величин. Найти далее математические ожидания, дисперсии и средние квадрати-ческие отклонения случайных величин Е, Ц и их суммы С = Е + ц .

Решение. Сумма случайных величин может принимать следующие значения: -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (суммы всех пар возможных значений случайных величин Е, Ц). Найдем вероятности значений суммы С = Е + Ц, используя при этом независимость величин Е,ц .

А. Р(С = -3) = Р((Е = -1)(ц = -2)) = Р(Е = -1)Р(ц = -2) = 0.2 ■ 0.1 = 0.02; аналогично

р(С = -2) = Р((Е = 0)(ц = -2)) = Р(Е = 0)р(ц = -2) = 0.3 ■ 0.1 = 0.03, Р(С = 2) = Р((Е = -1)(ц = 3)) = Р(Е = -1)Р(ц = 3) = 0.2 ■ 0.4 = 0.08, р(С = 5) = Р((Е = 2)(ц = 3)) = Р(Е = 2)Р(ц = 3) = 0.1 ■ 0.4 = 0.04.

Б.

-1Хц = 1)+(Е = 2Хц = -2)) = Р((Е = -1)(ц = Р((Е = 2^ц = -2)) = -1)Р(ц = 1) + Р(Е = 2)Р(ц = -2) = 0.2 ■ 0.2 + 0.10.1 = 0.05;

Р(С = о) = р((е

= Р(Е =

аналогично

р(С = 1)=р((Е = о)(ц = 1)+(Е = 3)(ц = -2))=р((е = о)(ц = 1))+р((е = 3)(ц = -2))=

= Р(Е = 0)р(ц = 1)+Р(Е = 3)р(ц = -2) = 0.3 ■ 0.2 + 0.4 ■ 0.1 = 0.10,

Р(С = 4) = р((Е = 0)(ц = 4)+(Е = 3)(ц = 1)) = р((Е = о)(ц = 4))+р((Е = 3)(ц = 1)) = = Р(Е = 0)р(ц = 4)+Р(Е = 3)р(ц = 1) = 0.3 ■ 0.3 + 0.4 ■ 0.2 = 0.17,

Р(С = 6) = р((Е = 2)(ц = 4)+(Е = 3)(ц = 3)) = р((Е = 2)(ц = 4))+р((Е = 3)(ц = 3)) = = Р(Е = 2)р(ц = 4)+Р(Е = 3)р(ц = 3) = 0.1 ■ 0.3 + 0.4 ■ 0.4 = 0.19.

В.

Р(С = 3) = р((Е = -1)(ц = 4) + (Е = 0)(ц = 3) + (Е = 2)(ц = 1)) = = Р((Е = -1)(ц = 4))+Р((Е = 0)(ц = 3))+Р((Е = 2)(ц = 1)) = = Р(Е = -1)Р(ц = 4)+р(е = о)р(ц = 3)+Р(Е = 2)р(ц = 1) = = 0.2 ■ 0.3 + 0.3 -0.4 + 0.1-0.2 = 0.20. Сводя эти результаты в таблицу, для искомой суммы случайных величин

получим

-3

-2

0.02

0.03

0.05

0.10

0.08

0.20

0.17

0.04

0.19

0.12

Функция распределения суммы С = Е + ^

О, если г < -3, 0.02, если -3< г <-2, 0.02 + 0.03 = 0.05, если - 2 < і < 0, 0.05 + 0.05 = 0.10, если 0 < і < 1, 0.10 + 0.10 = 0.20, если 1 < і < 2, 0.20 + 0.08 = 0.28, если 2 < і < 3, 0.28 + 0.20 = 0.48, если 3 < і < 4, 0.48 + 0.17 = 0.65, если 4 < і < 5, 0.65 + 0.04 = 0.69, если 5 < і < 6, 0.69 + 0.19 = 0.88, если 6 < і < 7, 0.88 + 0.12 = 1, если і >7. Переходим к нахождению числовых характеристик случайных величин

£ Т] и ^ = е+ ].

М {е) = {-1)-0.2 + 0-0.3 + 2-0.1 + 3-0.4 = 1.2, М {<е2)= 1-0.2 +0-0.3 +4-0.1 +9-0.4 = 4.2,

0(£) = М(£2)-М2(£) = 4.2-{1.2)2 = 2.76, ст(Е) = Щ£) * 1.66; М (т])=(-2)-0.1 + 1-0.2 + 3-0.4 + 4-0.3 = 2.4 , М (т]2)= 4-0.1 + 1-0.2 +9-0.4 + 16-0.3 = 9.0 0(т]) = М (т]2)-М 2{т]) = 9.0 - (2.4)2 = 3.24, а]]]) = ТОЇ) = 1.80. По свойствам математического ожидания и дисперсии сразу получаем М(С) = М(Е) + М( ]]) = 3.6; О(С) = О(Е) + О( ]) = 6.0; а(С) = 70(0 * 2.45. Проверим полученный результат непосредственными вычислениями. Прежде всего

М (с)=(-3)-0.02 + (-2)-0.03 +0-0.05 + 1-0.10+ 2-0.08+ 3-0.20+ 4-0.17 + + 5-0.04 + 6-0.19 + 7-0.12 = 3.6; М (с) = 3.6 = М (|)+М (]).

Далее, закон распределения квадрата случайной величины £2 дается таблицей (см. следущую страницу). Поэтому

М (с2)= 0-0.05 + 1-0.10 + 4-0.11 + 9-0.22 + 16-0.17 + 25-0.04 +

= 36 0.19 + 49 0.12 = 18.96, £>(<£) = М(С2)-М2(С)= 18.96-(3.б)2 = 6.0; £>(£) = 6.0 = £>(Е)+£>(ц) сг(£)* 2.45

Страницы:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 12

Похожие статьи