Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 13

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

С2

0

1

4

9

16

25

36

49

 

0.05

0.10

0.11= =0.03+0.08

0.22= =0.02+0.20

0.17

0.04

0.19

0.12

Поэтому

М (С2)= 0 0.05 + 1 0.10 + 4 0.11 + 9 0.22 + 16 0.17 + 25 0.04 + = 36 0.19 + 49 0.12 = 18.96, £>() = М(С2)-М2(С)= 18.96-(3.6)2 = 6.0; £>(£) = 6.0 = £>(Е)+£>(ц) сг(£)* 2.45 Пример 2. Найти самостоятельно таблицу распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение произведения слу­чайных величин Е, Ц, заданных в примере 1. Ответ.

 

-6

-4

-3

-1

0

2

3

6

8

9

12

 

0.04

0.07

0.08

0.04

0.30

0.04

0.08

0.04

0.03

0.16

0.12

_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

М(х) = М(Ец) = 2.88 = М(ц); Э(х) * 25.5 * ^(Е)^(ц); су(х) = Щх) * 5.05.

17. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЁВА

Как известно, для произвольной случайной величины Е с математиче­ским ожиданием М (е) и дисперсией £)(е) имеет место неравенство Чебышёва

р(Е-м(е)< в)> 1 - ^Ф-. (66 )

Пример 1. Пусть случайная величина Е - количество успехов в п незави­симых испытаниях с постоянной вероятностью р успеха А в каждом испытании, то есть распределение Бернулли (или биномиальное распределение). Известно (см. раздел 14, пример 3, формулы (57)), что математическое ожидание и дис­персия случайной величины Е равны М(е) = пр, и(ф) = прц, и неравенство Че-бышёва имеет для нее такой вид

Р(е-пр| < е)> 1 ­( 67 )

Пусть е1, е2Еп, .. - последовательность независимых случайных вели­чин с математическими ожиданиями М (е1), М (е2),..., М (Еп),... и дисперсиями Л(е1), £>(е2),...,Э(Еп),.... Среднее арифметическое первых п случайных величин

II

/=1

п

п

имеет математическое ожидание

II

м )+м 2) +...+м п) = ЕМ (е)

п п

и дисперсию

о(Е1)+ о(Е2)+...+о(Еп )=-!=Ч— •

п

Пользуясь неравенством Чебышёва (66), получаем оценку отклонения среднего арифметического независимых случайных величин от среднего арифметическо­го их математических ожиданий, а именно:

Р

Л ( II

ЕЕ 5м(е)

/=1 /=1

п

п

< £

> 1 ­

п

(68 )

Допустим, что дисперсии всех случайных величин в неравенстве (68) не более одного и то же числа С,

V/: В(Е,)< С. (69 )

Оценка (68) принимает тогда следующий вид:

Ei E«fe)

i=1 i= 1

n

n

< s

> 1 ­

C

ns2

( 70 )

Предположим далее, что все случайные величины Е1, Е2,...,Еп,... имеют

одно и то же математическое ожидание а. Получаем еще более простое нера­венство (при том же условии (69))

Р

 

n

 

 

E 1

 

 

i=1 a

< s

 

n

 

V

 

)

>1-

C

ns2

(71 )

Пусть, наконец, случайные величины |, i = 1,2,...,n,..., - количества нас­туплений некоторого события A в i-ом испытании с постоянной вероятностью Р(а) = p события. Тогда сумма

n i=1

представляет собой распределение Бернулли (количество наступлений события A в n независимых испытаниях с Р(а) = p = const), а отношение

n

£ Ее

1 = ^ = Рп" ( а)

n n

- относительной частотой этого события. Известно, что

M (|) = p = const, D(l) = pg = const,

и, следовательно, неравенство (71) переходит в следующее

p

< s

> 1 ­pq_ ns2 (72 )

дающее оценку вероятности отклонения относительной частоты события А от его вероятности.

Пример 2. Выведите самостоятельно неравенство (72) с помощью нера­венства (67).

Пример 3. Случайная величина Е имеет математическое ожидание 5 и среднеквадратическое отклонение 0.3. С помощью неравенства Чебышёва най­ти вероятность попадания значений Е в интервал (4.6,5.4).

ре (4.6, 5.4)) = р(4.6 <Е <5.4) = р(-0.4 <Е-5 < 0.4) = р(е -5 < 0.4),

откуда по неравенству Чебышёва (66) при е = 0.4, М (Е) = 5, ^ХЕ) = <т2(Е) = 0.09 имеем

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. С помощью нера­венства Чебышева оценить вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет более 470, но менее 550.

Пусть случайная величина Е означает количество мальчиков среди 1000 новорожденных. Е представляет собой распределение Бернулли с математиче­ским ожиданием М (Е) = пр = 1000 • 0.51 = 510, поэтому

р(470 < Е < 550) = р(40 < Е - 510 < 40) = р- 510 < 40) = р(Е - пр < 40), откуда на основании формулы (73) при п = 1000, р = 0.51, д = 0.49, е = 40 полу­чаем

Пример 5. Дисперсия каждой из независимых случайных величин Е1, Е2Еп, .. не превышает 10. С помощью неравенства Чебышёва найти наи­меньшее количество п, при котором с вероятностью, не меньшей 0.95, отклоне­ние среднего арифметического случайных величин Е1, Е2Еп от среднего арифметического их математических ожиданий не превышает 0.20.

На основании формулы (70) (при е = 0.2, С = 10) мы должны найти наи­меньшее значение п из следующего соотношения

Имеем

ре (4.6, 5.4)) = р - 5 < 0.4) > 1 ­0.09

= 1 - 0.5625 = 0.4375 * 0.44.

к2

її її

і=1

і=1

п

п

< 0.2

Фактически речь идет о решении неравенства

1-

10

>0.95,

п(0.2)2

которое после очевидных преобразований дает

п >

10

= 5000.

0.05 (0.2)2

Таким образом, условиям задачи удовлетворяет п = 5000 случайных ве­личин Е, Е2Еп, то есть величины Е, Е2Е5000.

Пример 6. Игральная кость подбрасывается 5000 раз. Какое отклонение относительной частоты выпадения шестерки от вероятности ее выпадения мо­жно ожидать с вероятностью, не меньшей 0.9?

Пусть Е - количество выпадений шестерки при п = 5000 бросаниях игра­льной кости. Относительная частота и вероятность ее выпадения соответствен­но равны Рп* ("6") = Е = ^—, Р("6") = р = 1/6, и по формуле (72) при п = 5000,

п 5000

р = 16, д = 56 имеем

Р( Р ("6")-Р("6")< є)= Р

Ґ

і

1

 

 

 

< є

V

5000

6

)

Следовательно, 0.1 =

5

, є2

5

1 5

> 1--6-^- = 0.9.

5000-є2

*0.01672, є * 0.0167.

36 • 5000 • е2' 0.1-36-5000

Таким образом, с вероятностью, не меньшей 0.9, абсолютная величина отклонения относительной частоты выпадения шестерки от вероятности ее вы­падения приблизительно равна 0.0167.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Вариант 1

1. В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно рас­пределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа