Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

 

0.2

?

0.3

0.4

Я/

0.5

0.1

?

 

 

0.4

0.5

?

Я/

0.2

0.1

?

0.4

 

0

1

3

5

 

0

1

3

14

£

-5

-3

2

 

-3

-2

3

5

13

р   | 0.2

?

0.3

0.4

Я/

?

0.1

0.7

 

 

0.2

0.5

?

Я/

0.4

?

0.2

0.3

15

£

0

1

2

4

 

-1

2

5

16

£

0

2

4

 

-4

-1

0

2

 

 

?

0.2

0.3

0.4

Я/

0.4

?

0.1

 

 

0.5

0.2

?

Я/

0.1

0.2

?

0.3

17

£

1

2

5

7

 

2

6

9

18

£

2

4

5

 

1

3

5

7

 

 

0.1

0.6

0.1

?

Я/

0.2

0.3

?

 

 

0.4

?

0.1

Я/

0.1

0.2

?

0.4

19

£

0

1

3

5

 

-1

2

5

20

£

0

1

3

 

0

1

2

4

 

 

0.2

0.1

?

0.3

Я/

0.4

0.5

?

 

 

0.5

0.3

?

Я/

0.1

0.6

0.1

?

21

£

0

1

2

3

 

1

2

3

22

£

2

6

10

 

1

3

4

5

 

 

?

0.3

0.1

0.4

Я/

0.5

0.2

?

 

 

0.5

0.1

?

Я/

0.2

?

0.3

0.4

23

£

-2

0

1

3

 

0

1

2

24

£

1

2

3

 

-2

0

1

3

 

 

0.1

?

0.3

0.1

Я/

0.2

0.5

?

 

 

?

0.1

0.7

Я/

0.1

?

0.3

0.1

25

£

1

3

4

6

 

0

2

4

26

£

-1

0

1

 

0

1

2

3

 

 

0.3

0.2

?

0.4

 

0.4

?

0.4

 

 

0.2

0.3

?

 

?

0.2

0.3

0.4

20. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЁВА7

20_Чебыш_1.     Дисперсия каждой из 3000 независимых случайных ве­личин не превышает числа 6. Оценить вероятность того, что отклонение сред­него арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,3.

20_Чебыш_2.     Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднеквадратическое отклонение которой равно 10 000 л. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что расход во­ды в этом пункте в течение суток отклонится от математического ожидания не менее, чем на 25 000 л (по абсолютной величине).

20_Чебыш_3.    Вероятность наступления некоторого события А в каж­дом испытании равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероят­ность того, что относительная частота события отклонится от его вероятности менее, чем на 0,01 (по абсолютной величине), если предполагается произвести 9000 испытаний.

20_Чебыш_4.     Дисперсия каждой из 2000 независимых случайных ве­личин не превышает числа 5. Оценить вероятность того, что абсолютная вели­чина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от сред­него арифметического их математических ожиданий меньше 0.4.

20_Чебыш_5.     Среднеквадратическое отклонение ошибки измерения курса самолета а = = 2°. Считая математическое ожидание ошибки измерения равным нулю, оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса будет не менее 5°.

20_Чебыш_6.    Вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, отно­сительная частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах 0.2­0.4.

1 Задачи этого раздела, несколько переработанные автором, взяты из пособия [7].

20_Чебыш_7.     Дисперсия каждой из 4000 независимых случайных ве­личин не больше 5. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность то­го, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от средне­го арифметического их математических ожиданий менее, чем на 0,04.

20_Чебыш_8.    Вероятность наступления события в каждом испытании равна 0,3. Применяя неравенство Чебышёва, найти число испытаний, необхо­димых для того, чтобы вероятность отклонения относительной частоты собы­тия от его вероятности по абсолютной величине меньше, чем на 0,01, была бы не меньше 0,99.

20_Чебыш_9.     Длина изготавливаемых изделий представляет случай­ную величину, среднее значение которой равно 30 см. Дисперсия этой величи­ны равна 0,0225. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что отклонение длины изготавливаемого изделия от ее среднего значения по абсолютной величине менее 0,5 см.

20_Чебыш_10.   Вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками 0,75. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что среди 3000 стеблей доля (относительная частота) с тремя початками будет по абсолютной величине отличаться от вероятности вызревания стебля менее, чем на 0.02.

20_Чебыш_11.   Дисперсия каждой из попарно независимых случайных величин не превышает 10. Требуется оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического 1600 этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,25.

20_Чебыш_12.   В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули (с воз­вращением) 50 шаров. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что количество белых шаров из числа вынутых удовлетворяет неравенст­ву 15 < т < 35.

20_Чебыш_13.   Пусть вероятность того, что выпущенный экземпляр ча­сов имеет точность хода в пределах стандарта, равна 0,97. Применяя неравенст­во Чебышёва, оценить вероятность того, что среди имеющихся 1000 часов от­носительная частота стандартных часов отклонится (по абсолютной величине) от вероятности 0,97 менее, чем на 0,02.

20_Чебыш_14.   Длина изготовляемых стержней представляет случай­ную величину, среднее значение которой равно 90 см. Дисперсия этой величи­ны равна 0,0225. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что длина стержня выразится числом, заключенным между 89,7 см и 90,3 см.

20_Чебыш_15.   Среднеквадратичное отклонение каждой из 2134 неза­висимых случайных величин не превосходит 4. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий менее 0,5.

20_Чебыш_16.   Вероятность появления события А в одном опыте равна 0,5. Применяя неравенство Чебышёва, выяснить, можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600?

20_Чебыш_17.   Случайная величина £ имеет математическое ожидание, равное 1, и среднеквадратическое отклонение, равное 0,2. С помощью неравен­ства Чебышёва оценить вероятность неравенства 0.5 < £ < 1.5.

20_Чебыш_18.   Принимая для упрощения расчетов вероятность рожде­ния мальчика равной 0.5, оценить с помощью неравенства Чебышёва вероят­ность того, что среди 1200 новорожденных детей мальчиков будет от 550 до

650.

20_Чебыш_19.   Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/ч, а среднеквадратичное отклонение - 4,5 км/ч. Применяя неравенство Чебышёва, найти, какие скорости ветра можно ожидать с вероят­ностью, не меньшей 0,9?

20_Чебыш_20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 1000 испытаний равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышёва веро­ятность того, что отклонение числа наступлений этого события от математиче­ского ожидания будет по абсолютной величине меньше 50.

20_Чебыш_21.   Суточная потребность в электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой рав­но 20 000 квт-час, а дисперсия составляет 2 000 (квт-час) . Применяя неравен­ство Чебышёва, оценить вероятность того, что в ближайший день расход элек­троэнергии в этом населенном пункте будет от 19 600 до 20 400 квт-час.

20_Чебыш_22.   Дисперсия каждой из 5000 независимых случайных ве­личин не превосходит числа 20. Применяя неравенство Чебышёва, оценить ве­роятность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий менее 0.2.

20_Чебыш_23.   Шестигранная кость бросается 10 000 раз. Применяя не­равенство Чебышёва, оценить вероятность того, что относительная частота по­явления шести очков отклоняется от вероятности появления этого события меньше, чем на 0,01.

20_Чебыш_24.   Известно, что дисперсия каждой из данных независи­мых случайных величин не превышает 4. Применяя неравенство Чебышёва, найти такое число этих величин, при котором вероятность отклонения их сред­ней арифметической от средней арифметической их математических ожиданий менее, чем на 0.25, превысит 0.99.

20_Чебыш_25.   Вероятность некоторого события А в каждом из п неза­висимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышёва, найти наи­меньшее число испытаний, при котором с вероятностью, не меньшей 0,99, от­носительная частота события А отклонилась бы по абсолютной величине от его вероятности меньше, чем на 0,01.

20_Чебыш_26.   Вероятность некоторого события А в каждом из 12100 независимых испытаний равна 1/3. Применяя неравенство Чебышёва, найти границу абсолютной величины отклонения относительной частоты события А от его вероятности, которую можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,99.

20_Чебыш_27.   Дисперсия каждой из попарно независимых случайныхвеличин не превышает 10. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероят­ность того, что отклонение среднего арифметического 16000 этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,25.

20_Чебыш_28.   При контрольной проверке изготовляемых приборов было установлено, что в среднем 20 штук из 100 изготовленных оказываются с теми или иными дефектами. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероят­ность того, что среди 300 изготовленных приборов количество приборов с де­фектами будет по абсолютной величине отличаться от его математического ожидания меньше, чем на 0,15.

20_Чебыш_29.   В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что в течение времени Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышёва, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (мате­матическим ожиданием) включенных ламп в течение времени Т окажется: а) меньше трех; б) не менее трех.

20_Чебыш_30.   Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что в партии из 10000 подшипников отклонение относительной частоты бракованных подшипников от вероятности 0,01 подшипнику быть бракован­ным не меньше, чем 0,003.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ....................................................................................3

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.................................3

2. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ............................................................................4

3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.................................................................5

4. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ.......................9

5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ......................................................14

6. ФОРМУЛЫ БЕЙЕСА (ВЕРОЯТНОСТИ ГИПОТЕЗ)..................................18

7. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ................. 22

8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Я.БЕРНУЛЛИ (БИНОМИАЛЬНОЕ)...........................25

9. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА...................... 28

10. ОТКЛОНЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ СОБЫТИЯ ОТ ЕГО

ВЕРОЯТНОСТИ.................................................................................................32

11. ФОРМУЛА ПУАССОНА...........................................................................34

12. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.................36

13. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.............42

14. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН...............47

Математическое ожидание.........................................................................48

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение..........................................49

Моменты. Асимметрия. Эксцесс..................................................................52

15. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ..........................................................59

16. СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН..........................................................................................................62

17. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА....................................................................65

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ............................................70

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.........................................................70

2. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ...............................78

А) Первая группа задач.................................................................................. 78

Б) Вторая группа задач................................................................................... 81

3. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ..................... 85

4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ...................................................... 93

5. ФОРМУЛЫ БЕЙЕСА..................................................................................... 98

6. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕРНУЛЛИ............ 103

7. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА........................................................109

8. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА.................................................113

9. ФОРМУЛА ПУАССОНА............................................................................118

10. ОТКЛОНЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ 122

11. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ................................................................................126

12. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА............................................129

13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ........................................................................... 131

14. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ТОЛЬКО ДВА ЗНАЧЕНИЯ............................................................................136

15. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА ОПРЕДЕЛЕНА ПЛОТНОСТЬЮ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.......................................................................................... 137

16. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА ОПРЕДЕЛЕНА ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.......................................................................................... 138

17. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ........................................................141

18. ЗАДАЧИ НА НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.................................143

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа