Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

Р(А/Н 1 ) = 0.2, Р(А/Н2 )= 0.6, Р(А/Н3) = 1 , р(А/Н> )= 0. Равенство нулю условной вероятности Р(А/Н0) позволяет нам при вычислени­ях не принимать гипотезу Н0 во внимание. Однако необходимо проверить, об­разуют ли все четыре гипотезы полную группу событий.

Для нахождения вероятностей гипотез введем события В, с, В, озна­чающие отказ первого, второго, третьего блока соответственно. Тогда события В, с, В состоят в отсутствии отказов этих блоков. События В, с, В, В, с, В независимые. По условию

р(В )= 0.6, р(с )= 0.5, р(В) =0.3,

откуда

Р(В) = 1 - Р(В) =1 -0.6 = 0.4, Р(с) = 1 - Р(с) =1 -0.5 = 0.5, Р(В) = 1 - р(В ) =0.7.

Далее,

Н1 = вСВ+ВсВ+Всв, н 2 = всВ+всв+Всв, н 3 = всв, н 0 = ВсВ,

и поэтому

р(н1 ) = р(всв + всв + всв) = р[бсв ) + р[бсв ) + р(всв ) = = р(в )р(В )+ р )р(с )р )+ р(В (в ) =

= 0.4-0.5 0.3 + 0.6 0.5-0.3 + 0.6 0.5 0.7*0.36,

р(н 2) = р(всВ + всв+Всв) = р(всВ )+р(всв )+р(Всв ) = = р(в )р(с )р(В )+ р(в )р(с )р(в )+р(в )р(с )р(в )=

= 0.4-0.5 0.6 + 0.4 0.5-0.7 + 0.6 0.5 0.7*0.4 1,

Р(Н3) = Р(БСР) = Р(Б)Р(С)р(Р) = 0.4 ■ 0.5 ■ 0.7 * 0.14,

р(н 0) = р(БСР ) = р(б )р(С )р(р ) = 0.6 ■ 0.5 ■ 0.3 = 0.09.

Так как сумма вероятностей гипотез равна единице, то они образуют полную группу событий.

По формуле полной вероятности имеем

Р(А) = р(н )р(а/н) + р(н 2 )р(а/н 2) + р(н з )р(а/н з) *

* 0.36 ■ 0.2 + 0.41- 0.6 + 0.141* 0.46.

Пример 3. В каждой из трех урн находятся по 4 белых и 6 черных шаров.

Наудачу перекладывают один шар сначала из первой урны во вторую, затем из второй в третью и, наконец, из третьей урны извлекают один шар. Найти веро­ятность того, что он белый.

Пусть А - событие, вероятность которого нужно определить (из третьей урны извлекли белый шар). Введем следующие четыре гипотезы (обозначения понятны):

н1 = Б^Б? (из первой и второй урн переложили по белому шару) н2 = Б^Б4^ (из первой урны переложили белый, а из второй - черный шары) н3 = Б^Б*6 (из первой урны переложили черный, а из второй - белый шары) Н 4 = б1чб2ч (из первой и второй урн переложили по черному шару). Вероятности гипотез находим, применяя аксиому 5 теории вероятностей:

р(Н)=р(б?)р(б6 /б?)= АА =     р(н2)=р(б?)р(б2 /б?)= АА = 24

17  10 11   110'   У ^     V ^ V 2    1 '   ю 11 но

р(Нз)=р(б;)р(б62 /б:)=АА = " р(н4)=р(б;Рщ /б:)=А± =

^у-^^-^ю 1Г110^У ^ ^  10 11 110

Соответствующие условные вероятности события А равны

Теперь по формуле полной вероятности находим вероятность события А: р(а) = р(н1 )р(а/н ) + р(н2 )р(а/н2) + р(нз )р(а/нз) + р(н4 )р(а/нл ) =

=---+---+---+---=-(100 + 96 +120 +168) = 0.4.

110 11   110 11   110 11   110 11   110 4Г '

6. ФОРМУЛЫ БЕЙЕСА (ВЕРОЯТНОСТИ ГИПОТЕЗ)

На практике часто приходится иметь дело с такой ситуацией. Имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) Н1 2,...,Нп с извест­ными вероятностями. Сами эти события (гипотезы) непосредственно не наблю­даемы, но можно наблюдать некоторое связанное с ними событие А, для кото­рого известны условные вероятности

В таком случае вероятность того, что событие А произошло вместе с гипотезой Н1, то есть вероятность Р(Н. / А), можно найти по известным формулам Бейеса

Р(Н,/А) = Р(Н^,   > = 1,2.....п . ( 14 )

Что касается вероятности события А, то во многих задачах она находится по формуле полной вероятности.

Пример 1. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0.8, семеро - с вероятностью 0.7, четверо - с вероятностью 0.6, двое - с вероятно­стью 0.5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего относится этот стрелок?

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что наудачу выбранный стрелок из наудачу взятой группы не попал в мишень. Введем четыре гипотезы Н1 2 3 4, означающие, что этот стрелок принадлежит к первой, второй,

третьей и четвертой группам соответственно. Вероятности гипотез находятся по классическому определению вероятности,

причем сумма этих вероятностей равна 1. Соответствующие условные вероят­ности события А, то есть вероятности промаха стрелком первой, второй, треть­ей, четвертой групп, по условию равны

Р(Н 1) = 518, Р(Н2) = 7/18, Р(Нз) = 4/18, Р(Н4) = 2/18,

Р(А/Н 1) = 1-0.8 = 0.2, Р(А/Н2) = 1-0.7 = 0.3, Р(А/Н3) = 1-0.6 = 0.4, Р(А/Н4) = 1-0.5 = 0.5

По формуле полной вероятности вероятность того, что наудачу выбран­ный стрелок из наудачу взятой группы не попал в мишень, равна

р(л) = Р(И1 )р(Л/Н )+ Р{И2 )р(Л/Я 2) + Р(Я3 )Р(А/Я3) + Р(Я4 )р(А/Я4 ) = = 518-0.2 + 7/18-0.3 + 4/18-0.4 + 2/18-0.5*0.32.

Теперь по формулам Бейеса найдем условные вероятности гипотез отно­сительно события А, то есть вероятности того, что промах допустил стрелок первой, второй, третьей или четвертой группы соответственно.

«0.17,

р(Я)р( ля 1)

518-0.2

, Р(Л) Г

0.32

р(я 2)р( Ля 2)

_ ^18-0.3

Р(Л) "

0.32

р(я з)р( ля 3)

518-0.4

, р(л) /

0.32

р(я 4)р( ля 4)

_ 518-0.5

4       р(Л) 0.32

Отсюда видно, что не попавший в мишень стрелок вероятнее всего принадле­жит ко второй группе, то есть группе, стрелки которой попадают в мишень с вероятностью 0.7.

Пример 2. Пусть в условиях примера 1 наудачу выбранный стрелок из на­удачу взятой группы снова делает один выстрел. Найти вероятность промаха.

Здесь мы снова имеем четыре гипотезы Я1 2 3 4 о принадлежности

стрелявшего к одной из четырех групп, однако в качестве вероятностей гипотез мы можем принять уточненные вероятности, полученные в результате приме­нения формул Бейеса: р(Я 1)= 0.17,р(Я2)= 0.36,р(Я3)= 0.28,р(Я4)= 0.17 . Так как соответствующие условные вероятности события А при этом не изменяют­ся, по формуле полной вероятности мы получаем новое, уточненное значение вероятности события А, именно:

р(л)=р(я 1 )р(л/я 1)+р(я 2 )р(л/я 2)+р(я 3 )р(Л/Я 3)+р(я 4 )р(л/я 4)=

= 0.17-0.2 + 0.36-0.3 + 0.28-0.4 + 0.17-0.5*0.34.

2

3

Таким образом, формулы Бейеса позволяют уточнить вероятности ги­потез на основании результата проведенного испытания.

Пример З. Три стрелка одновременно выстрелили в мишень с вероятно­стями попадания G.6, G.8, G.7 соответственно. В результате в мишени появилась одна пробоина. Найти вероятности «принадлежности» пробоины каждому из стрелков.

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что в результате одновре­менного выстрела тремя стрелками по одной и той же мишени в ней появилась одна пробоина. Пусть, далее, B, C, D - события, состоящие в попадании в ми­шень, а B, C, D - в промахе первым, вторым, третьим стрелком соответственно. Все шесть событий B, C, D, B, C, D независимы. По условию

P(B)= 0.6, P(C) = 0.8, P(D)= 0.7, P(B)= 0.4, p(C)= 0.2, p(D)= 0.3. Очевидно, A = BCD + BCD + BCD, а поэтому

p(a) = P (bCD + BCD + BCD) = p(bCD )+ p (BCD)+ p(BCd )= = p(b )p (C )p(D)+ p (B )p(C )p (D)+ p(B )p (C )p(d ) =

= 0.6 0.2 0.3 + 0.4 0.8 0.3 + 0.4 0.2 0.7* 0.188.

Дальнейшие рассуждения можно провести двумя способами, второй из которых является более простым, но не так просто находимым.

Первый способ. Гипотезами, учитываемыми при вычислениях, можно считать события

H1 = BCD, H 2 = BCD, h 3 = BCD

с вероятностями

p(H1) = P(BCD )= 0.6-0.2-0.3 = 0.036, P(H2) = P(BCD )= 0.4 0.8 0.3 = 0.096,

P(H 3) = P(BCD )= 0.4 0.2 0.7 = 0.056

и соответствующими условными вероятностями события А

p( ah l ) = p( Ah 2) = p( Ah 3)=1 .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа