Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

Остальными пятью гипотезами, которые соответствуют другим возможным ре­зультатам трех выстрелов (BCD - три промаха, BCD - три попадания, BCD, BCD, BCD - попадание какими-либо двумя стрелками), можно пренебречь, так как соответствующие им условные вероятности события А равны нулю. Важно только, чтобы сумма вероятностей всех восьми гипотез была равна 1 (проверь­те!), то есть чтобы гипотезы образовывали полную группу событий. По формулам Бейеса

p(hj л)= «МШИй = ^ = M36s0.19,

v 1/7 Р(Л) Р(Л) 0.188

P(H J Л) = PiH ^Л H-) = ^ = 0096 .0.51,

v 2/7 P(a) P(a)    0.188

P(H,/A)= PH i)PiA H ^ = PiH) = 0056 .0.30.

v 3/7 P(a) P(a)    0 .188

Второй способ - более простой. Чтобы найти вероятность, что единст­венная пробоина в мишени принадлежит первому стрелку, введем только две гипотезы: событие BCD, означающее попадание первым стрелком при прома­хе остальных двух, и противоположное ему событие,

h1 = bcd, и .

Вероятность первой гипотезы, которая нам только и нужна, равна

р(Н 1) = p(bCD )= P(B )p(C )p(D )= 0.6- 0.2- 0.3 = 0. 036, а соответствующая условная вероятность события А, как и в первом способе, равна 1. Следовательно, по формуле Бейеса мы получаем

р(    a)= P(Hi)р(AHi) = = M36 . 0.19, v 1/7        P(A) P(A) 0.188

то есть тот же самый результат, что и при первом способе. Произведя такие же рассуждения сначала для второго (гипотезы h2 = bcd, h2), а затем для треть­его стрелков (гипотезы H3 = bcd, h3), мы получим аналогичные результаты

P(H J A)= P(H 2 )р( A H 2) = ^ = M96!1 . 0.51, v 2/  7 P(A) P(A) 0.188

Р(Н 3/ л) = Р(Н 2)р(Л Н 2) = = ^ . 0.30. у 31  ; р(л) Р(Л) 0.188

7. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Случайной величиной называется величина, которая в каждом испытании принимает то или иное возможное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Мы будем обозначать случайные величины большими греческими буква­ми^, т],       (часто встречаются обозначения X, У, 2,...), а их возможные зна­чения - строчными латинскими буквами (х, у, 2„ ... ).

В теории вероятностей рассматриваются дискретные и непрерывные слу­чайные величины. Возможные значения дискретной случайной величины обра­зуют некоторую (конечную или бесконечную) последовательность чисел с из­вестными, как правило, вероятностями. Точное определение непрерывной слу­чайной величины будет дано ниже, сейчас же отметим, что возможные ее зна­чения сплошь заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Законом распределения (или просто распределением) случайной величи­ны называется правило, которое устанавливает соответствие между ее возмож­ными значениями и соответствующими вероятностями.

Первичной формой задания закона распределения дискретной случайной величины является так называемая таблица распределения, в первой строке ко­торой указываются возможные значения величины, а во второй - вероятности этих значений. Так, для конечнозначной (а именно п - значной) дискретной случайной величины Е, таблица распределения имеет вид

 

 

х2

 

 

 

Р1

Р2

 

 

причем сумма вероятностей всех возможных значений % равна 1,

Таблица распределения дискретной случайной величины может быть геометрически изображена многоугольником распределения - ломаной линией, последовательно соединяющей точки

/>| А1 Р1 \ а2 2; Р2 V- Аи (хи ; Ри ) (рис- !)

Пример 1. Урна содержит 6 белых и 4 черных шара. Наудачу берут 4 шара. Пусть £ - случайная ве­личина, означающая количество извлеченных белых шаров. Составить закон ее распределения.

Рис. 1 Возможные значения случайной величины - 0,

1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений

Р1 = Р = 0), Р2 = Р(£ = 1), Рз = Р(£ = 2), Р4 = Р = 3), р5 = Р = 4) находятся с помощью классического определения вероятности.

Элементарными событиями (шансами) являются здесь сочетания из 10 элементов по 4, а поэтому общее их количество равно

= 10-9-8-7 =

10       1 • 2 • 3 • 4

Количества благоприятствующих шансов представлены в таблице

Событие

Количество благопроятст-вующих шансов

Пояснение

£ = о

т1 = 1

4 черных шара (и ни одного белого) можно взять единственным способом

£ = 1

т2 = 6 С43 = 6 • С4 = 6 • 4 = 24

Один белый шар можно взять 6 спосо­бами, а 3 черных - С43 способами

£ = 2

т3 = С62 С42 = 6'5 • 4'3 = 90

2 белых шара можно взять С,2 и 2 чер­ных - С2 способами

£ = 3

6 • 5 • 4

3 белых шара можно взять С| и 1 чер­ных - 4 способами

£ = 4

»>5 =    =    = 15

4 белых шара (и ни одного черного) можно взять С64 способами

Числа т2, т3, т4 найдены с помощью основного принципа комбинаторики.

Таким образом,шл     1 т2    24 т3    90 т4    80 т5 15

1    и    210   2    и    210        и    210   4    и    210   5    и 210

и таблица распределения случайной величины £ суть

£

0

1

2

3

4

 

1  * 0.005 210

24

* 0.114

210

90

* 0.429

210

80 * 0.381 210

15 * 0.071 210

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины

1     24     90     80     15 л 1     2     3     4     5   210   210   210   210 210

а сумма приближенных значений этих вероятностей, здесь равная (с точностью

до 0.01)

0.015 + 0.114 + 0.429 + 0.381 + 0.071 * 1.010, на практике может оказаться немного меньшей или большей 1.

Многоугольником распределения является здесь ломаная, последователь­но соединяющая точки

А1 (0; 0.01), А2 (1; 0.11), А3 (2; 0.43), А4 (3; 0.38), А5 (5; 0.07).

Постройте его самостоятельно.

Пример 2 (испытания до первого успеха при ограниченном количестве испытаний и постоянной вероятности успеха). Из той же урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, последовательно извлекают по одному шару до перво­го появления белого шара. Найти закон распределения случайной величины ц -количества излеченных шаров.

Возможные значения случайной величины - 1, 2, 3, 4, 5. Для нахождения соответствующих вероятностей введем следующие вспомогательные события: Ал, В л - появление белого (соответственно черного) шара при извлечении I - го по счету шара. Тогда

(ц = 1) = А1, (ц = 2)= ВА2, (ц = 3) = В£2А3, (ц = 4) = В£2В3А4, (ц = 5)=      £3Бл, и на основании классического определения вероятности

А = P(r, = 1) = P{ A, ) = A = 3

P2 = P(r = 2) = P(BX A) = P(B )p(A / В,) = Рз = P(r = 3) = P(BiB2 A3) = p(Bi )P(B J Bi )Р(Аз / B1B2) =

A 6 = j4_ 10'9 =15'

A 3 6 = A

10 9 8 = 10

и аналогично

Ы     л   4  3 2 6    1 ,      ч   4  3 2 1 6 1

p4 = P(r = 4 ) =-------= , p5 = P(r = 5) =---------=-

4     v      7   10 9 8 7   35   5 10 9 8 7 6 210

причем сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины ц равна 1,

3   4    11     1 л

1     2     3     4     5   5   15   10   35 210

Таблица распределения случайной величины

 

1

2

3

4

5

 

35

^15

1/10

1/35

1/210

Постройте самостоятельно многоугольник распределения случайной величины.

8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Я.БЕРНУЛЛИ (БИНОМИАЛЬНОЕ)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти некоторое событие А (обыч­но называемое успехом), p = P(A) = const. Количество £ успехов (или количе­ство наступлений события A), которые могут наступить во всех n испытаниях, является случайной величиной, о которой говорят, что она имеет биномиаль­ное распределение, или распределение Якоба Бернулли.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа