Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

Аналитечески распределение Бернулли выражается так называемой фор­мулой Бернулли, дающей вероятность наступления & успехов (0 < к < n). Имен­но

Р(£ = к ) = Скпркд", ( 15 )

где д = 1- р = 1- Р(А) = р(а) - вероятность ненаступления успеха А. Вероят­ность Р(£ = к) часто обозначается символом Рп ).

С помощью формулы Бернулли можно найти многие другие важные ве­роятности.

а) Вероятность того, что успех наступит не более т раз, равна

т т

Р(0 < £ < т) = Р(£ = 0) + Р(£ = 1)+... + Р(£ = т) = £Р(£ = к) = £СкрУ-к.

к=0 к=0

б) Вероятность того, что успех наступит не менее т раз, равна

Р(т < £ < п)= Р(£ = т)+Р(£ = т + 1) +... + Р(£ = п) = £Р(£ = к) = £Сп'ркдп-к

к=т к=т

в) Обе предыдущие формулы являются частными случаями следующей: вероятность Р(к1 < £ < к2) того, что успех наступит не менее к1 и не более к2

раз (часто обозначается Рп (к1, к2)), равна

Р(к < £ < к2) = Р(£ = к1) + Р(£ = к1+1)+... + Р(£ = к2) =    Скпркдп-к. ( 16 )

Все три формулы доказываются аналогично. Во всех речь идет о нахож­дении вероятности суммы попарно несовместных событий Вк = (£ = к) с ве­роятностями, определяющимися формулой Бернулли (15).

Вероятность Р(£ = к) с ростом к сначала возрастает, а затем убывает.

Следовательно, должно существовать по крайней мере одно значение к = к0,

которому соответствует наибольшее значение вероятности. Такое значение на­зывается наивероятнейшим числом успехов и определяется двойным нера­венством

пр - д < к0 < пр + р. ( 17 )

В зависимости от того, является ли число пр - д дробным или целым, су­ществует одно или два наивероятнейших числа. Отметим еще, что если пр -целое число, то к0 = пр.

Пример 1. Опытом установлено, что в среднем 75% массовой продукции, выпускаемой заводом, являются первосортными. Какова вероятность того, что из шести взятых наудачу изделий этого завода четыре окажутся первосортны­ми?

Решение. Будем считать испытанием взятие наудачу одного изделия. То­гда мы имеем n = 6 независимых испытаний. Пусть успех (событие) А состоит в том, что взятое наудачу изделие - первосортное. Вероятность успеха A посто­янна и равна p = P(a) = const = 0.75, вероятность неуспеха q = 1 - p = 0.25.

Введем далее случайную величину £ - количество первосортных изделий, то есть количество успехов в 6 независимых испытаниях. Нам нужно найти ве­роятность p(£ = 4). Но, очевидно, £ имеет распределение Бернулли, и поэтому мы можем найти эту вероятность по формуле Бернулли (15)

р£ = 4) = с64p4q6-4 = с62(0.75)4(0.25)2 = А| .(0.75)4(0.25)2 * 0.297 * 0.30..

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятность того, что из 10 взятых наудачу изделий: а) более 5, б) не более 5 изделий окажутся первосортными.

Решение. Здесь производится n = 10 независимых испытаний с постоян­ной вероятностью p = p(a) = const = 0.75 успеха A (наудачу взятое изделие -первосортно).

Пусть £ - случайная величина, означающая количество первосортных из­делий (из взятых десяти). Как и в предыдущем примере, £ имеет распределение Бернулли, и нужно найти вероятности p(£ > 5), p(£ < 5). Первую найдем, ис­пользуя 5 раз формулу Бернулли (15), а именно:

p(£ > 5) = p(6 < £ < 10) = p(£ = 6)+ p(£ = 7)+ p(£ = 8)+ p(£ = 9) + p(£ = 10) =

= Q6o p6 q4 + Q7o p7 q3 + Qo p8 q2 + Co p9 q1 + Qo p10 q0 =

* o.oi62+o.oo31+o.ooo4 + o.oooo + o.oooo * o.o2o.

Далее, события (£ > 5) и (£ < 5) являются противоположными, а поэтому вторая из искомых вероятностей равна

P(£ < 5)= 1 - p(£"<5 )= 1 - P(6 < £ < 10)* 1 - 0.020 = 0.980.

Пример 3. Найти вероятность хотя бы одного успеха в п независимых ис­пытаниях с постоянной вероятностью успеха.

Пусть случайная величина £ означает количество успехов в п испытани­ях, и нужно найти вероятность события (£ > 1) = (£ > О). Так как

Р(£ = О)= С°р0дп-°=1-1-дп = дп, то

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Сколько детей должна иметь семья, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.99, иметь по крайней мере одного мальчика?

В задаче испытанием является рождение ребенка, успехом А - рождение мальчика, вероятность успеха p = p(a) = const = o.51, вероятность «неуспеха»,

то есть рождения девочки q = p(a) = 1 - p( a) = 1 - p = o.49. Вероятность хотя бы

одного успеха на основании предыдущего примера равна 1 - qn = 1 - o.49n. По условию задачи эта вероятность должна быть не меньшей 0.99, то есть нам нужно рассмотреть неравенство относительно n

и найти его наименьшее целое решение. Имеем

0.49п < 1 -0.99 = 0.01,120.49п < 1е0.01, п 1е0.49 < -2 => п >   -2   = 6.45.

^0.49

Таким образом, чтобы удовлетворить условию задачи, семья должна иметь по крайней мере семерых детей.

Замечание. Задача примера 4 относится к числу так называемых обрат­ных, в отличие от прямых задач, где количество испытаний изначально задано.

n

1-0.49n >0.99

9. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА

Пусть случайная величина £ имеет распределение Бернулли (количество успехов в п независимых испытаниях с постоянной вероятностью р = Р(А) ус­пеха А в каждом испытании). Как сказано выше, вероятность Р(£ = к) наступ­ления к успехов подсчитывается с помощью формулы Я. Бернулли (15). Однако при больших п, то есть при большом количестве испытаний, использование формулы становится крайне затруднительным. Поэтому вместо нее применя­ются некоторые другие приближенные формулы.

А) Приближенное значение вероятности Р(£ = к) наступления к успехов при большом количестве п независимых испытаниях находится с помощью так называемой локальной теоремы Лапласа. Суть теоремы состоит в следую­щем:

Р(£ = к ), ( 18 )

где

х° = к^, ( 19 )

а р(х) - так называемая малая функция Лапласа, определяемая формулой

Р(*) = 72п 6 2 . ( 20 )

Значения функции р (х) для положительных значений аргумента находятся из таблицы. Для отрицательных значений х используется свойство четности функ­ции р(- х) = р(х). Отметим также, что при |х| > 4 можно считать р(х) = О.

Б) Приближенное значение вероятности Р(к1 < £ < к2) наступления не менее к1 и не более к2 успехов при большом количестве п независимых испы­таниях находится с помощью так называемой интегральной теоремы Лапла­са:

Рп(к,,к2) = Р(к1< £ < к2)« Ф(х2)-Ф(х,), ( 21 )

где

= к - пр       = к 2 - пр )

прд -^прда ф(х) - функция (или нормированная функция) Лапласа

1      х      t2

ф(х) = -/=[ e тrft. ( 23 )

Значения функции Лапласа для положительных значений аргумента находятся из таблицы. Для отрицательных значений х используется свойство ее нечетно­сти ф(- х) = - Ф(х). При \х\ > 5 можно считать Ф(х) = 0.5.

Пример 1. Найти вероятность того, что среди 100 изделий 55 окажутся отполированными, если в общей массе изделий имеется поровну отполиро­ванных и неотполированных.

Решение. Здесь производится n = 100 независимых испытаний (проверка каждого из 100 изделий на отполированность). Вероятность успеха А (изделие отполировано) p = P(a) = const = 0.5, вероятность противоположного события (изделие не отполировано) q = 1- p = 0.5.

Если ввести случайную величину £ - количество отполированных изде­лий из 100 имеющихся, то £ имеет распределение Бернулли, и требуется найти вероятность P(£ = 55). На основании локальной теоремы Лапласа (18) - (20)

np = 50,        55-50 1

f—     х0 =-= 1 = — 0.2420 = 0.0484 * 0.05.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа