Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

^jnpq = 5, 5 5

Пример 2. 96 % деталей, выпускаемых заводом, стандартны. Найти веро­ятность, того, что в партии из 15 000 деталей этого завода нестандартных не ме­нее 560 и не более 630.

Решение. Если считать испытанием выпуск одной детали, то мы имеем дело с n = 15000 независимых испытаний. Пусть событие («успех») А означает, что наудачу взятая деталь бракованная. Вероятность «успеха» p = P(A) = 0.04 постоянна, вероятность "неуспеха" q = 1 - p = 0.96 . Требуется определить ве­роятность того, что количество выпущенных заводом нестандартных деталей не менее, чем к = 560, и не более, чем k2 = 630 . Имеем

P(£ = 55)*        .pfo ) =

Jnpq

np = 15000. 0.04 = 600, Jnppq = V15000. 0.04. 0.96 = 24,к,-пр   560-600 к2-пр 630-600

х1 = і—- =-= -1.67, х2 = 2—- =-= 1.25.

л]прд 24 -\Jnpq 24

Первый способ. На основании интегральной теоремы Лапласа (21) - (23)

Р15000(560, 630) = Ф(х2)-Ф(хх) = Ф(1.25)-Ф(-1.67) = = 0.3962 + Ф(1.67)= 0.3962+0.4525 = 0.8487.

Случайная величина £ - количество нестандартных деталей из 15 000

имеющихся - имеет распределение Бернулли. Имеем

пр = 15000 ■ 0.04 = 600, Апрщ — V15000 ■ 0.04 ■ 0.96 = 24,

к,-пр   560-600                 к2-пр 630-600 х1 = і- =-= -1.67, х2 = 2—- =-= 1.25,

л|npq 24 ■\|npq 24

и на основании интегральной теоремы Лапласа получаем

Р(560 < £ < 630) = Ф(х2)- Ф(х1) = Ф(1.25)- Ф(-1.67) = = Ф(1.25)+Ф(1.67)= 0.3962 + 0.4525 = 0.8487.

Пример 3. Вероятность успеха А в независимых испытаниях р = 0.05.

Сколько испытаний необходимо провести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.8, иметь не менее пяти успехов?

Задача сводится к нахождению наименьшего целого значения п из сле­дующего неравенства:

Рп(5,п)>0.8, или Р(5<£ <п)>0.8, где случайная величина £ означает количество успехов. Используя интегральную теорему Лапласа, имеем

0.8 < Рп (5,п) = Р(5< £ < п)= Ф(х2) - Ф(хх),

где

= 5-пр =   пр-5=   0.05п-5      =   п-0.05п   =43 г л|npq      ^Jnpq       0.22л] п л/0.05-0.95п

Число п можно считать настолько большим, чтобы иметь Ф(х2) = 0.5. Напри­мер, если предположить, что А.з4п > 5, то достаточно (проверьте!) считать, чтоп > 2. По условию же мы должны иметь п > 5, так что заведомо Ф(х2 )=0.5. Следовательно, мы можем рассмотреть более простое неравенство

0.8 > 0.5 + Ф

0.05n -5

Ф

0.05n -5 0.224n

>0.3.

0.22л/«

На основании таблицы значений функции Лапласа заключаем, что

> 0.84,

и остается приближенно решить неравенство относительно 4п . Полагая t = л/п , имеем 0.05?2 -5

> 0.84,0.05?2 - 5 > 0.84 ■ 0.22?, 0.05?2 - 0.18?- 5 > 0,

t > 11.96, ? <-8.36.

0.22?

Можно считать, что 4п > 12, п > 144.

Итак, для удовлетворения требований задачи необходимо провести как минимум 144 испытания.

Замечание. Задача этого примера также относится к числу обратных.

10. ОТКЛОНЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ СОБЫТИЯ

ОТ ЕГО ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть, как и в предыдущих двух разделах, производится n независимых испытаний с постоянной вероятностью p = P(a) = cons? события А в каждом

испытании. Если обозначить n{A) (или £) количество наступлений события А, то отношение n{A)ln (или £ / n) является, как известно, относительной часто­той события А. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, несложно получить следующую формулу

P

Ma) ­

n

p < 6

P

n

p < 6

n ( 24 )

Она дает вероятность того, что относительная частота п(А)/п (или £ / п) собы­тия А отклоняется по абсолютной величине от его вероятности р = Р(а) не бо­лее, чем на некоторое положительное число є .

Пример 1. Проводится п = 100 независимых испытаний с постоянной ве­роятностью 0.03 успеха. Найти вероятность того, что относительная частота успеха отклонится от его вероятности не более, чем на 0.02.

Решение. Если А - успех, то р(А) = р = 0.03 = 1 - р = 0.97. По формуле (24), в которой следует положить є = 0.02, получаем

P

n(A) -

n

p

<0.02

2Ф

0.02

100

= 2Ф(1.17) = 2-0.3790* 0.76.

V0.03 0.97

Пример 2. Вероятность того, что изделие повреждено, равна 0.03. Сколь­ко поврежденных изделий может содержать партия из 100 изделий с вероятно­стью 0.9?

Пусть А - событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие повреж­дено. По условию, p = p(a) = cons? = 0.03, q = p(a) = 1- p(a) = 1- p = 0.97. Если m - количество поврежденных изделий в партии, то относительная частота со­бытия А есть т/100 . По формуле (24)

P m

100

-0.03

< є 2Ф

i 100 V0.03 0.97

а) Из условия и формулы (*) прежде всего следует, что

2Ф

/ 100 V 0.03^0.97

0.9

100

= 0.45, Ф(58.62є)=0.45,

V 0.03^0.97

ч / ч /

58.62є = 1.65, є = 0.028. б) Зная є = 0.028, из той же формулы (*) и условия получаем

 

Ґ

m

m 0.03

л

 

P

 

 

< 0.028

= 0.9.

 

 

100

J

 

Следовательно, с вероятностью 0.9 выполняется неравенство

< 0.028 => |m - 3| < 2.8 ^> 0.2 < m < 5.8 .

Таким образом, с вероятностью 0.9 в партии может быть не менее одного и не более пяти поврежденных изделий.

11. ФОРМУЛА ПУАССОНА

Пусть, как и ранее, производится n независимых испытаний с постоянной вероятностью p = P(a) успеха А в каждом испытании, а случайная величина £ (распределение Бернулли) означает количество успехов в этих испытаниях. Как известно, предел вероятности P(£ = k) наступления k успехов при n — °о, p — 0 и дополнительном условии np = cons? = a равен

ak

lim     Pn (k ) = e ~a.

n—»co ,p—0 ,np=a k'

Поэтому при большом количестве n испытаний и малой вероятности p успеха можно найти приближенное значение вероятности P(£ = k) по следующей формуле (так называемой формуле Пуассона)

P(£ = k)« e~a, a = np, a < 10. ( 25 )

k!

Значения правой части в зависимости от значений a, k находятся по

таблице или подсчитываются непосредственно.

Пример 1. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Ве­роятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероят­ность того, что на базу прибудут: а) 3 поврежденных изделия; б) не более двух поврежденных изделий; в) не менее трех поврежденных изделий.

Решение. По условию, количество независимых испытаний (то есть коли­чество отправленных на базу изделий) n = 5000. Вероятность «успеха» (то есть повреждения изделия в пути) p = P(a) = cons? = 0.0002. Количество £ «успе­хов» является случайной величиной, имеющей распределение Бернулли, так

m

— -0.03 100что для нахождения искомых вероятностей мы имеем право использовать фор­мулу Бернулли (15). Однако по условию количество испытаний велико, вероят­ность «успеха» мала, пр = 5000 • 0.0002 = 1 < 10, и мы можем воспользоваться

формулой Пуассона (25), полагая в ней а = пр = = 5000 • 0.0002 = 1.

а) Вероятность трех «успехов», то есть вероятность повреждения трех из­делий, мы находим, полагая к = 3 в формуле (25),

ак 13 р(р = 3)*— е = е-1 * 0.06. У      }   к! 3!

б) Вероятность повреждения не более двух изделий находим, применяя формулу (16) и три раза формулу Пуассона (при к = 0, к = 1, к = 2),

Р(£ < 2) = Р((£ = 0) + (£ = 1) + (£ = 2)) = Р(£ = 0)+Р(£ = 1)+Р(£ = 2) =

       11 12 = е_1_1-1 * 0.92 * 0.9. 0!       1! 2!

в) Вероятность повреждения не менее трех изделий находим, используя уже найденную вероятность противоположного события,

Р(£ > 3) = 1 - р(Г>3 )= 1 - Р(£ < 3)= 1 - Р(£ < 2)* 1 - 0.92 = 0.08. Пример 2. На факультете насчитывается 2000 студентов. Найти вероят­ность того, что 7 июля является днем рождения 10 студентов (год - не високос­ный).

Решение. Наличие одного студента можно считать испытанием, так что имеем п = 2000 независимых испытаний. Успехом А можно считать событие, состоящее в том, что наудачу взятый студент родился 7 июля. Количество сту­дентов, родившихся в этот день, является случайной величиной, имеющей рас­пределение Бернулли. В задаче число испытаний велико, вероятность успеха, равная р = Р( Л) = 1/365 , мала, пр = 2000 -1/365 * 5 < 10. Поэтому вместо фор­мулы Бернулли мы можем применить приближенную формулу Пуассона, пола­гая в ней а = пр = 5, к = 10. Получаем

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа