Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

Р(Е = 10)* — е = е"5 *0.02. 4       '   10! 10!

12. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Функцией распределения Г(х) случайной величины £ называется ве­роятность того, что она принимает значения, меньшие х, то есть

Г(х) = Р(£ < х) = Р(£ є (- да, х)). ( 26 )

Вероятность того, что случайная величина £ принимает значения, лежа­щие на интервале [а, Ь) (замкнутом слева и открытом справа), равна разности значений функции распределения в конечной и начальной точках интервала:

Р(а < £ < Ь) = Р(£ є [а, Ь)) = Г)- Г(а). ( 27 )

Как следствие получаем вероятности попадания значений £ на другие интервалы с теми же концами, а именно (а, Ь), [а, Ь], (а, Ь],

Р(а < £ < Ь)= Р(£ є (а, Ь)) = Р(а < £ < Ь)-Р(£ = а), ( 28 )

Р(а < £ < Ь)= Р(£ є [а, Ь]) = Р(а < £ < Ь)+ Р(£ = Ь), ( 29 )

Р(а < £ < Ь) = Р(£ є (а, Ь]) = Р(а < £ < Ь)+ Р(£ = Ь). ( 30 )

Функция распределения І7) является неотрицательной неубывающей функцией, значения которой заключены между нулем и единицей, 0 < І7) < 1. По определению принимается, что

^(-оо)=0,   ^(+да) = 1. ( 31 )

Вероятность того, что случайная величина £ принимает отдельное (изо­лированное) значение а , может быть определена как следующий предел:

р(£ = а) = Ііт Р(а < £ < Ь) = Ііт Р(£ є [а, Ь)) = Ііт ^(Ь)- ^(а).        ( 32 )

Эта вероятность равна нулю, если Ііт Г(Ь) = І7), то есть если функция рас­пределения Г (х) непрерывна в точке а.

Случайная величина £ называется непрерывной, если ее функция рас­пределения непрерывна во всех точках множества вещественных чисел.

Для непрерывной случайной величины £ все вероятности (27) - (30) рав­ны:

Р(а < £ < Ь)= Р(а < £ < Ь)= Р(а < £ < Ь) = Р(а < £ < Ь) = Г(Ь)-Г(а),   ( 33 )

или

Р(£ є [а, Ь)) = Р(£ є (а, Ь)) = Р(£ є [а, Ь]) = Р(£ є (а, Ь]) = Г)- Г). Эти формулы можно записать короче, если использовать специальное обозначение < а, Ь >, означающее интервал с концами а, Ь, которые могут как принадлежать, так и не принадлежать самому интервалу. Для любой точки х та­кого интервала мы можем записать х є< а,Ь >. Таким образом,

Р(£є< а,Ь >) = Г (Ь)-Г (а). ( 34 )

В случае дискретной случайной величины £ функция распределения в любой точке х равна сумме вероятностей тех значений £ , которые меньше х:

Г(х)=£р, . ( 35 )

хі < х

Если дискретная случайная величина задана таблицей, в которой возможные значения величины расположены в возрастающем порядке, то последнюю фор­мулу более удобно записать в развернутом виде, а именно:

0, если х < х1, р1, если х1 < х < х2, р1 + р2, если х2 < х < х3, Г(х) = <!      р1 + р2 + р3, если х3 < х < х4, ( 36 )

рг + р2 +... + рп_!,если хп_! < х < хп,

График функции распределения (36) представляет собой систему отрез­ков, параллельных оси Ох, с «выколотыми» левыми концами, а именно: у = 0(х < хд у = р1 < х < Х2),..., у =      р2     < х < х3),..., у = 1 (х > Хп).

Пример 1. В урне находятся 5 белых и 3 черных шара. Последовательно извлекают по одному шару до первого появления белого шара (без возвращения шара в урну). Найти закон распределения (таблицу, функцию распределения) случайной величины £ - количества извлеченных шаров.

Решение. Очевидно, случайная величина г может принимать только че­тыре значения, а именно l, 2, 3, 4. Событие іг = l) означает, что с первого раза извлечен белый шар, г = 2) - сначала извлечен черный шар, а вслед за ним бе­лый, іг = з) сначала извлечено два черных, а затем белый шар, іг = 4) первых три извлеченных шара - черные (и автоматически четвертый - белый). Пусть А - событие, состоящее в извлечении белого шара. Тогда события, состоящие в том, что г принимает значения l, 2, З, 4, можно представить в виде:

іг=l)=a, іг = 2)=aa, іг = з)=aaa, іг = 4)=aaa .

Вероятности этих значений находятся по соответствующим правилам (в соче­тании с применением классического определения вероятности).

pi=Ріг=і)=ріа)=6, P2 = Ріг = 2)=ріаа)=ріаУіа a)=з ■-=56,

Pз = Ріг = 3) = ріААа)=ріаЦа А)ріа / AA) = з ■ - ■ 6 = 56,

P4 = Ріг = 4) = ріааа) =       а)ріа / аа)= 8^:2^і = -6.

Сумма найденных вероятностей px + p2 + + p4 = l. Таблица распределения случайной величины г имеет вид

г

l

2

з

4

 

6 = 0.625

8

0.268

56

A* 0.089

56

A*0.0l8

56

Функция распределения случайной величины равна

0, если x < l,

F x)

px = 0.625, если l < x < 2,

px+ p2 = 0.625 + 0.268 = 0.89з, если 2 < x < з, p, + p2 + =0.89з +0.089 = 0.982, если 3 < x <4, P\+ P 2 + Pз+ P4 = 0.982+ 0.0l8 = l, если x > 4.

Ее график изображен на рис. l.

Пример 2. В условиях предыдущего примера найти вероятности следую­щих событий: а) извлечено не менее 2, но менее 4 ша-ров; б) извлечено более 2, но менее 4 шаров; в) извлечено не менее 2 и не более 4 шаров; г) извлечено бо­лее 2, но не более 4 шаров.

б) Р(2 < £ < 4) = Р(2 < £ < 4)-Р(£ = 2)= 0.357 - 0.268 = 0.089;

в) Р(2 < £ < 4) = Р(2 < £ < 4)+Р(£ = 4) = 0.357 + 0.018 = 0.375;

г) Р(2< £ <4) = Р(2< £ <4)+Р(£ = 4) = 0.089 + 0.018 = 0.107 .

Пример 3. Охотник стреляет по убегающему зайцу, имея в запасе 4 заря­да. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.7, при втором - 0.5, при третьем - 0.3, при четвертом - 0.1. Найти закон распределения случайной величины £ - количества сделанных охотником выстрелов.

Очевидно, £ может принимать четыре значения, а именно: 1 (попадание при первом выстреле), 2 (промах при первом выстреле и попадание при вто­ром), 3 (промахи при первых двух выстрелах и попадание при третьем), 4 (про­махи при первых трех выстрелах). Для нахождения вероятностей этих значений введем следующие события: А - попадание при первом выстреле, В - при вто­ром, С - при третьем, В - при четвертом. По условию Р(А) = 0.7,   Р(В) = 0.5, Р(С )=0.3, Р(В )=0.1.

Р =1) = р(А) = 0.7; Р = 2) = Р(АВ) = Р )р(в / А )= (1-0.7)- 0.5 = 0.15; р( £ = з) = Р(АВС )= Р(А )р(В / А )Р(С / АВ )= (1-0.7)-(1 -0.5)-0.3 = 0.045; р(£ = 4) = Р(АВС ) = Р(А )р(В / А )р(С / АВ) = (1-0.7)- (1 -0.5)- (1- 0.3) = 0.105.

ледовательному при-менению формул (27)

(30).

ных шаров, мы сводим решение задачи к пос-

Решение. Зная функцию распределения случайной величины £ - количества извлечен-

Рис. 1

а)Р(2 < £ < 4)= Г(4)- Г(2) = 0.982- 0.625 = 0.357;

Таблица распределения изучаемой случайной величины

£

1

2

3

4

р

0.7

0.15

0.045

0.105

Ее функция распределения

0, если х < 1; 0.7, если 1 < х < 2

Г(х) = |   0.7 + 0.15 = 0.85, если 2 < х <3 0.85 + 0.045 = 0.895, если 3 < х <4

1, если х > 4.

Постройте самостоятельно ее график.

Пример 4. В цехе установлено 6 станков, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что один (безразлично какой) станок не требует в дан­ный момент внимания рабочего (то есть функционирует нормально), равна 0.8. Найти закон распределения случайной величины £ - количества станков, не требующих в данный момент внимания рабочего (таблицу и функцию распре­деления). Найти вероятности следующих событий: в данный момент не требу­ют внимания рабочего а) не менее 2, но менее 5 станков; б) более 2, но менее 5 станков; в) не менее 2 и не более 5 станков; г) более 2, но не более 5 станков.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа