Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

Решение. Наличие одного (безразлично какого) станка мы можем тракто­вать как испытание, а успехом считать тот факт, что в данный момент станок не требует внимания рабочего. По условию задачи мы имеем п = 6 независимых испытаний с постоянной вероятностью р = 0.8 успеха. Следовательно, случай­ная величина £ - количество станков, не требующих в данный момент внима­ния рабочего, имеет распределение Бернулли. Возможными значениями £ яв­ляются числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а вероятности этих значений находятся по фор­муле Бернулли (15) (д = 1- р = 0.2). Например,

р1 = р(£ = 0) = С60р0д6 0 = 1-1-0.26 * 0.00006,

р2 = р = 1)= С6р1д6-1 = 6-0.8- 0.25 * 0.00154,р3= Р( £ = 2) = С2 р2 д

2 „6-2

6-5 1-2 -0.820.24 * 0.01536.

Произведя остальные вычисления (сделайте это самостоятельно!), получим таблицу распределения случайной величины £

£

0

1

2

3

4

5

6

 

0.00006

0.00154

0.01536

0.08192

0.24576

0.39321

0.26214

Функция распределения случайной величины равна

0,

если

х < 0,

0 + 0.00006 = 0.00006,

если

0 < х < 1,

0.00006 + 0.00154 = 0.00160,

если

1 < х < 2,

0.00160 + 0.01536 = 0.01696,

если

2 < х < 3,

0.01696 + 0.08192 = 0.09888,

если

3 < х < 4,

0.09888 + 0.24576 = 0.34464,

если

4 < х < 5,

0.34464 + 0.39321 = 0.73785,

если

5 < х < 6,

0.73785 + 0.26214 = 0.99999 = 1,

если

х > 6.

Постройте самостоятельно ее график.

Находим, наконец, искомые вероятности:

а) Р(2 < £ < 5)= Г(5)- Г(2) = 0.34464 - 0.00160 = 0.34304;

б) Р(2 < £ < 5) = Р(2 < £ < 5)-Р = 2)= 0.34304 - 0.01536 = 0.32768;

в) Р(2 < £ < 5) = Р(2 < £ < 5)+Р = 5) = 0.34304 + 0.39321 = 0.73625;

г) Р(2 < £ < 5) = Р(2 < £ < 5)+Р(£ = 5) = 0.32768 + 0.39321 = 0.72089 . Пример 5. Функция распределения непрерывной случайной величины £

задана формулой

0, если х < ­ж

2~

а бій х + Ь, если |х| <

ж

2~

1,если х >

ж

"2

1) Найти значения параметров а, Ь. 2) Вычислить вероятность попадания

.... К

случайной величины в интервал < _ —, к >.

1) В силу непрерывности случайной величины ее функция распределения непрерывна во всех точках, а поэтому имеет равные односторонние пределы в

точках

ж ж 2 , 2

- ж-0 2

- ж + 0

2

ж

"2

-0

ж

"2

+0

Но

ж

"2

0

0, Г

ж 2 +0

= -а + Ь, Г ж

"2

0

а + Ь, Г

ж

"2

+0

= 1,

и мы получаем систему уравнений

г- а + Ь = 0, а + Ь = 1

относительно а, Ь. Очевидно, а = Ь =

1 2 и следовательно

0, если х < ­ж

2~

Г(х) = і — бій х + —, если |х| < Ж

2      2 2

1,если х >

ж 2

2) На основании формулы (40)

Р ж

66

ж >

Г (ж)-Г

ж

V «У

6

=1­'1 . г ж

2

БШ

V    и У

6

1 3 = 1 — = - = 0.75. 4 4

13. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть функция распределения непрерывной случайной величины £ име­ет производную во всех точках, за исключением, быть может, нескольких.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины £ называется производная ее функции распределения,

/ )= Р '(х )■ (37 )

Плотность распределения определена во всех точках, в которых функция рас­пределения обладает производной. В свою очередь функция распределения представляет собой первообразную плотности распределения.

Плотность распределения является неотрицательной функцией в силу не­убывания функции распределения.

При известной плотности распределения вероятность попадания случай­ной величины £ на интервал < а, Ь > с концами а, Ь может быть записана в ви­де

V

Р(£ е< а,Ь >)= |/(х)ск ■ (38 )

Зная плотность распределения случайной величины, можно найти ее функцию распределения:

х

Р )=\ / (? ># ■ (39 )

Так как Р (+ да) = 1 , из последней формулы следует одно из основных свойств плотности распределения, именно:

| / )ск = 1 ■ ( 40 )

Пример 1. Найти плотность распределения непрерывной случайной вели­чины £, которая задана своей функцией распределения

ж

0, если х 2

1 •        1 I I ж

— БШ х + —, если х < —

2 2 2

ж

1, если х >—

2

С помощью плотности распределения найти вероятность Р\ £ є<

v б

(ср.

пример 5 предыдущего раздела) Построить графики функции и плотности рас-пределения^

На основании формулы (37), определяющей плотность распределения, имеем

f (x )= F '(x ) =

1 , , к

— cos x, если x < —,

к к О, если x <--или x > —

22

Теперь по формуле (38) находим искомую вероятность

ж

1 1

P

Е є< -ж, ж > ) = J f (x)dx =     cosxdx + j^dx = 2sin x

2

2

І

б

. л

sin--sin

2

v бУУ

І

І-

V    V ^УУ

з

= - = О.75.

4

Для построения графиков функций у = /(х), у = Р (х) найдем сначала их производные до второго порядка включительно,

Рис. 1 a

f '(x ) = F "(x)

sin x і

2

> О, x

V

л

"2

О

' л^

<О, x є О, V 2

f "(x)

71 71

О   при x <--, x >—;

22

Рис. 1 b

- 2 cos x < О при x с

л

^ л л^

О   при x <--, x >

22

22

л

б2

По знакам производных видим, что функция распределения у = Р ) возраста-

ет на интервале

У

2 2

ется вогнутым на интервале

так как Р '(х) = / ) > 0 на

Г   71 ^

ж 0

2

22

и выпуклым на интервале

ее график явля-(см. рис

У

0,ж

V

1 а)■ В свою очередь плотность распределения у = / ) возрастает на

Г   71 ^

ж 0

V

2

У

убывает на 0, —

V 2У

и имеет на

^   71 71^

22

выпуклый график (рис 1 б)

Пример 2. Найти значение параметра а таким образом, чтобы функцию

/ ) = ае - х

можно было считать плотностью распределения некоторой непрерывной слу­чайной величины. Зная плотность распределения, найти функцию распределе­ния этой случайной величины. Изобразить графически функцию и плотность распределения.

На основании формулы (40)

да /0 да

1=|/(х)с1х = а| |ех(1х + |е-х(1х = а

- е

— да

= 2а, 2а = 1, а

1

Теперь по формуле (39) находим функцию распределения случайной величины,

Р (х)

X

I

ехёх = — е 2

1 х

= — е , если х < 0;

2

если х < 0;

2| |ех^х + |е~хёх = -(2 — е"х),если х>0; 2     е ,

если х > 0.

0 У

Изучение знаков их производных

0

да

X

0.

х

е

—да

F '(x )= f (x ) =

І

І

e x , при x < О; e-x, при x > О;

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа