Автор неизвестен - Элементы теории вероятностей - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

F '(x )= f '(x)

І

ex, при x < О;

-2 e x, при x > О;

f "(x)

І

12

ex, при x < О; e-x, при x > О

и постпроение их графиков произведите самостоятельно.

Пример 3. Покажите, что, решая такую же задачу для функции

f(x)= a

І + x2

получим

І

a = -,   f (x ) = л

І

ж(І + x2)

F(x)

І

л

л

2~

+ arctan x

(рис. 4 а, б).

Пример 4. Та же задача для функции

ч   Г a sin x, если О < x < к; [О, если x < О или x > к.

Сначала по формуле (40) имеем

да О к да

1=| f (x )dx = J Оdx + a | sin xdx +1 Оdx = -a cos x

= 2a, a =

2

f (x)

І

sin x, если О < x < ;

О, если x < О или x > .

Далее мы используем формулу (39) для трех случаев: x ; О<x <ж;

x> .

В первом случае ( x < О )

xx

F (x) = J f (x )dx = Jodx = О.

-а -а

Во втором случае ( О < x < )

І

О

F (x )= J f (x )dx = Jodx + J—sin xdx = -2 cos x

2

2

= — (l- cos x).

2

Наконец, в последнем третьем случае (x > к) по самому смыслу отыска­ния значения параметра a имеем

x О к i да

F (x)= J f (x )dx = j^dx +     sin xdx + |odx = 1.

-да -да О 2 О

Таким образом, искомая функция распределения дается формулой

0, если x < О; F(x) = < — (l- cosx), если О < x < к;

1, если x > к.

Далее

F '(x ) = f (x ) =

І

sin x > О при О < x < ж; F

2 * 'F "(x ) = f '(x)

О, x < О или x > ;

> О при О < x <

cos xi

к

2~

к

< О при — < x < ж,

О, если x < О или x > ;

f"(x ) =

= J - sin x > О при О < x < ж,

О, если x < О или x > .

Отсюда получаем интервалы возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости обеих функций у = /(х), у = Р(х). Их графики постройте самостоятельно.

x

О

14. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Функция или плотность распределения случайной величины исчерпы­вающим образом определяют ее. Однако в теории вероятностей рассматривают также величины (числовые характеристики), которые характеризуют отдельные свойства случайной величины, например, ее среднее значение, разброс ее воз­можных значений относительно среднего значения, симметричность или не­симметричность ее распределения и т.д. Ниже мы рассмотрим некоторые из чи­словых характеристик случайной величины - математическое ожидание, дис­персию, среднеквадратическое отклонение, начальные и центральные моменты.

Математическое ожидание

Пусть п-значная дискретная случайная величина £ задана таблицей распределения

 

Ху

х2

Х3

 

 

 

 

 

р1

Р2

 

 

 

 

 

Математическим ожиданием (средним значением, центром распределе­ния) этой случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на вероятности этих значений,

М (£)= т£ = £ Хгрг = Хі Х2 р2+ ... + Х,р, + ... + Хпр

(41 )

г=1

В случае бесконечнозначной дискретной случайной величины ее матема­тическое ожидание выражается суммой ряда

М (£)= т£ = £ Х,р, = Х1 р1 + Х2 Р2 + ... + Х,р, + ... + Хпрп + ...

(42 )

=1

Математическое ожидание непрерывной случайной величины £ с

плотностью распределения / (х) выражается определенным интегралом

М (£) = пі£ =| х/ )сіх ,

(43 )

если все возможные значения £ сосредоточены на интервале < а, Ь >, и несоб­ственным интегралом

00

М(£)= т£ = | х/ (х)с1х, (44 )

— да

если случайная величина может принимать любые вещественные значения.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины C равно этой самой величине,

М (C ) = C .

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожи­дания,

M(C |) = C M(!) C - соп#.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий,

M (! + ц +... + £) = M (|)+M (т])+... + M (£).

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,

m (!!/... £)=m (!) m (ц>... m (с).

5. Математическое ожидание функции ц = <<(!) дискретной случайной величины ! равно

п

МЫ = M((P(!))=YJ(P(x, )Р, = ^(xi)pi + P(x2)p2 + ... + P(xi )Р, + ... + P(xn п (45 )

i=1

Математическое ожидание функции ц = <р(!) непрерывной случайной величины ! с плотностью распределения f (x) равно

6 да

М (ц) = М (<р(£)) = jp(x )f (x )dx   или   M (ц) = М (<р(|)) = jp(x )f (x )dx (46 )

a -да

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа