Л В Ізюмченко - Gran2d на факультативних заняттях з геометрії - страница 1

Страницы:
1  2 

Л.В. Ізюмченко, І.В. Лупан

Кіровоградський державний педагогічний університет

імені Володимира Винниченка

GRAN2d на факультативних заняттях з геометрії

У шкільному курсі геометрії приділяється увага послідовному викладенню доведення теорем, логічному обґрунтуванню різних етапів розв'язування задачі чи доведення твердження. А сам процес пошуку розв'язку задачі чи способу доведення, процес відкриття нових математичних фактів у повсякденній шкільній практиці розглядається значно рідше. Між тим саме власні відкриття, математична творчість є на думку багатьох вчених чи не найпотужнішим фактором розвитку мислення дитини [1].

Особливо великі можливості для формування навичок творчого мислення надаються на факультативних заняттях. Пропонуємо добірку задач, які розглядались на факультативних заняттях з геометрії у дев'ятому класі. Задачі розв'язувались у середовищі GRAN2d [2], що дало можливість швидко виконувати рисунок до умови задачі та необхідні обчислення.

Розв'язування нестандартних задач допомагає розвитку інтуїції, навичок самостійного пошуку нових закономірностей, математичного мислення, формуванню цілеспрямованості, наполегливості учнів.

Пропоновані задачі можна умовно поділити на кілька груп. До першої групи включено досить прості задачі, розв'язки яких інтуїтивно очевидні, але точні обчислення є досить трудомісткими.

Такими є задачі 1 і 2. Креслення до них наведено на рис. 1а, а порядок його виконання у середовищі GRAN2d та результати обчислень - на рис. 1б.

Задача 1. Пара протилежних сторін довільного опуклого чотирикутника поділена на 5 рівних частин і відповідні точки протилежних сторін з'єднані. Перевірте, що площа середнього чотирикутника CDJI в 5 разів менша площі вихідного чотирикутника AFLG [3].

Задача 2. Пара протилежних сторін довільного опуклого чотирикутника поділена на m рівних частин, а інша пара - на n рівних частин, і відповідні точки протилежних сторін з'єднані (числа m і n - непарні). Перевірте, що площа середнього чотирикутника QRST в mn разів менша за площу вихідного чотирикутника AFLG (m=5; n=3) [3].

Наступну групу складають задачі, які містять цікаві, невідомі для учнів факти. Задачі даної групи покликані стимулювати пізнавальний інтерес учнів. Середовище GRAN2d на даному етапі є інструментом для експериментальної перевірки запропонованих в умові гіпотез.

Рис. 1а Рис. 16

Задача 3. Точка E лежить на колі co(A; r=AB), описаному навколо правильного трикутника CDF. Перевірте, що сума EC4+ ED4+ EF4 не залежить від вибору точки E на колі (і дорівнює 18 R4)

[3].

На рисунку 2 подано креслення, порядок його побудови та обчислення до задачі 3. Важливо, що точку E створено як точку на колі. Тому у GRAN2d її можна рухати по колу, спостерігаючи, чи змінилися при цьому результати обчислень.

Рис. 2а Рис. 2б

Задачі першої і другої груп є підготовчими. До третьої групи включено задачі, при розв'язуванні яких висунуте в умові припущення спочатку потрібно емпірично перевірити засобами графічного середовища, а потім аналітично довести.

Задача 4. Дано опуклий чотирикутник ABCD з площею S. Всередині нього (довільно) вибирається точка I і відображається симетрично відносно середин усіх сторін:

а) доведіть, що площа утвореного чотирикутника дорівнює 2-S [4];

б) доведіть, що площа чотирикутника, вершинами якого є середини сторін чотирикутника ABCD, дорівнює AS [3].

Креслення, порядок побудови та результати обчислень наведено на рис. 3а та рис. 3б.

01. Точка [А] 0 2. Точка [В] 0 3. Точка |С] 0 4. Точка [D] 0 5. Ламана [ламанаї) 0 Є Середня точка (Е] 0 7. Середня точка (F) S 8. Середня точка [G ] 0 Э. Середня точка (Н] 0 10. Ламана |ламана2) 011. Точка (І) 0 12. Симетрична точка [J) 0 13. Симетрична точка [К] 0 14. Симетрична точка [L]

Замкнена ламана, кількість вершин: 4 Довжина: 21.01 Площа: 25.SS

Вираз

Значення

AREA[A,B.C.DVAREA[E.F.G.HI

2

AREAIJXLMl/AREAfA.B.aDl

2

Рис. 3а Рис. 3б

Задача 5. На бісектрисі прямого кута взято точку D. Через неї проведено довільну пряму, яка

відтинає на сторонах кута відрізки довжиною a і b. Доведіть, що величина вибору цієї прямої [31.

1 +1

a b

не залежить від

Рис.Рис.

Креслення та обчислення наведено на рис. 4а, 4б. Змінювати положення довільної прямої можна, рухаючи точку E, через яку дану пряму проведено. Аналітичний розв'язок такий: нехай відстань від точки D до прямої AC дорівнює h. З подібності двох прямокутних трикутників: великого

a ha

GAF (з катетами a і b) і маленького GHD (з катетами a-h та h) маємо: —;— = —, а тоді b(ah) = ah;

ah + bh = ab ; поділивши на abh, маємо 1 +1 =1

a   b h

h b

Отже, вказана сума не залежить від вибору прямої,що проходить через точку D, а залежить тільки від розташування точки D на бісектрисі (тобто від відстані точки D до сторін кута).

Задача 6. Кола a>1(A; r=AB) і a>2(C; R=CD) перетинаються у точках E і E1. Через точку E проведено пряму EF, яка перетинає кола со1 і со2 в точках G і H відповідно. В точках G і H до кіл проведені дотичні, які перетинаються в точці I (рис. 5а, 5б). Доведіть, що ZGIH (між дотичними) не залежить від вибору прямої, що проходить через точку E [3]. Доведіть, що кут ZGE1H не залежить віл вибоцу поямої. шо ггоохолить чеоез точку Е [5].

0 1. Точка (А)

0 2. Точка (В)

^ 3. Коло (колої)

0 4. Точка (С)

0 5. Точка (D)

0 Є. Коло (коло2)

0 7. Точка перетину об'єктів (Е)

0 8. Точка перетину об'єктів (Е)

шат it

0 10. Пряма (лініяі)

011. Точка перетину об'єктів (G)

0 12. Точка перетину об'єктів (G)

0 13. Точка перетину об'єктів (Н)

0 14. Точка перетину об'єктів (Н)

0 15. Дотична (лінія2)

0 16. Дотична (лінія2)

0 17. Дотична (лініяЗ)

0 13. Дотична (лініяЗ)

0 13. Точка перетину об'єктів (І)

Вільна точка

Координати: (6.404, 2.602)

Рис. 5а Рис. 5б

Розв'язування. Оскільки IH - дотична до а>2, то ZIHG=A^EH=ZEE1H; аналогічно ZIGH=ZEE1G. Тоді ZGIH = 180°-(ZIHG+ZIGH)=180°-(ZEE1H+ZEE1G)=ZE1GH+ +ZE1HG; кожен з цих кутів сталий, так як спирається на сталі дуги ^EE1 кіл со1 та со2. Тому ZGIH не залежить від вибору прямої, що проходить через точку E.

Задача 7. Нехай D - довільна точка кола co(A; r=AB), а E і F - її проекції на радіуси (діаметри) AC і AB кола. Доведіть, що довжина відрізка EF не залежить від вибору точки D на колі [3], [4].

Розв'язування. Оскільки DF1AB і DE1AC, то кути ZDEA=ZDFA=90°, а тому точки E і F лежать на колі з діаметром AD (точки A, D, E, F лежать на колі постійного радіуса A AD=A r) (рис. 6а. 66).

1. Точка (А)

2. Точка (В)

3. Коло (колої)

4. Пряма (лініяі)

5. Точка на об'єкті (С)

6. Пряма (лінія2)

7. Точка на об'єкті (D)

8. Перпендикулярна пряма [лініяЗ) 3. Перпендикулярна пряма [лінія4)

10. Точка перетину об'єктів (Е)

11. Точка перетину об'єктів (F)

^Зі І. J Іамана [ламанаї 1

Ламана, кількість вершин: 2

 

Довжина: 2.6Є

 

Й+В: \Ш-     1 Ї*Ф Й+Б: Вираз

1 Значення

LEN[A,BrSIN[ANGLE[CABll

І2.Б58

Рис. 6а Рис. 6б

При цьому або ZEAF=ZCAB або ZEAF=180°-ZCAB, а тому довжина хорди EF стала. (Наступне завдання можна сформулювати так: оцінити довжину відрізка EF, порівняти з R Sina, де а - кут між діаметрами. Більш підготовленій аудиторії можна запропонувати висунути гіпотезу про довжину відрізка EF та аналітично її підтвердити).

При розв'язуванні вищенаведених задач за допомогою графічного середовища GRAN2d в учнів є можливість експериментувати з умовою задачі, змінювати рисунок, доки не буде емпірично підтверджено існування того чи іншого математичного факту. Після цього слід переходити до строгого математичного доведення.

На факультативних заняттях можна пропонувати і прості, і складні задачі. На деяких треба акцентувати особливу увагу. Це стосується, зокрема, задач, при розв'язуванні яких застосовуються факти, що використовуються в більш складних (олімпіадних, конкурсних) задачах. Так, розв'язок досить простої задачі 8 покладено в основу розв'язку конкурсних задач 9 та 10.

Задача 8. Дві прямі, що виходять з точки C, дотикаються до кола co(A; r=AB). На меншій з двох дуг, обмежених цими точками, взято довільну точку D і через неї проведено третю дотичну EF, що перетинає CG і CF відповідно в точках E і F. Довести, що периметр ACEF не залежить від зміни положення точки D на колі [5] (рис. 7а, 7б).

0 1. Точка (А) 0 2. Точка (В) 0 3. Коло (колої) 0 4. Точка (С) 0 5. Дотична (лініяі)

0 S. Дотична (лінія2)

0 Э. Точка перетину об'єктів (Е)

0 10. Точка перетину об'єктів (F)

□ 11. Перпендикулярна пряма [лініяЗ)

0 12. Точка перетину об'єктів (G)

Точка на об'єкті <коло1> Координати: (0.3572, 0.5819)

a*ss Ш аХ: | ї*¥ »*{= 2"LEN[C,G] 10.62

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Л В Ізюмченко - Gran2d на факультативних заняттях з геометрії